2.2 用配方法求解一元二次方程-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

数学　九年级　上册 ４８　 0  0 ２　用配方法求解一元二次方程 M > M D0U -Ed
p  方程x２＝p 的根的情况 p 的 取值 方程x２＝p 的根的情况 p＞０ 有两个不相等的实数根 x１＝－ p,x２＝ p p＝０ 有两 个 相 等 的 实 数 根 x１＝x２＝０ p＜０ 方程没有实数根 知识点一　用直接开平方法解一元二次方程 １．直接开平方法的理论依据和适用形式 理论依据 适用形式 平方根的意义,即 若x２＝p(p≥０), 则x＝± p 方程的一边是一个含有未知数的完全 平方式,另一边是一个常数,当这个常 数大于等于０时,方程两边同时开平 方,把方程转化为一元一次方程,便可 求出它的根 ２．用直接开平方法解方程的一般步骤 第１步:移项,使方程左边是完全平方式,右边是非负 数的形式; 第２步:开平方,注意右边的非负数开平方后必须取 正负两个平方根．特殊地,０开平方后是０． 【例１】求下列方程中x 的值: (１)x２－１２＝０;　(２)(x－２)２＝１６; (３) １ ２ (x＋２)２－６＝０． 解 (１)因为x２－１２＝０, 所以x２＝１２． 所以x＝±２３． 所以x１＝２３,x２＝－２３． (２)因为(x－２)２＝１６, 所以x－２＝±４． 所以x＝±４＋２． 所以x１＝６,x２＝－２． (３)因为 １ ２ (x＋２)２－６＝０, 所以(x＋２)２＝１２,所以x＋２＝±２３, 所以x１＝２３－２,x２＝－２３－２． 第二章　一元二次方程 ４９　 0  0 4 (１)解形如(ax＋b)２＝c(a≠０,c≥０)的一元二次方 程,应运用整体思想,把ax＋b 看成一个整体,两边 直接开平方． (２)利用平方根的意义解一元二次方程时,容易漏掉 负值而丢根． 知识点二　用配方法解一元二次方程 １．配方法的理论依据:完全平方公式． ２．配方法解一元二次方程的一般步骤 【例２】用配方法解下列方程: (１)x２＋４x－１＝０;　　　(２)２x２－４x－１＝０． 解 (１)移项,得x２＋４x＝１． 移􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺   两边都加上２２,得x２＋４x＋２２＝１＋２２, 即(x＋２)２＝５． 配􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由平方根的意义,得x＋２＝± ５, 即x＝± ５－２． 所以x１＝－２＋ ５,x２＝－２－ ５． 解􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 (２)方程两边都除以２,得x２－２x－ １ ２＝０． 化􀆺􀆺􀆺 移项,得x２－２x＝ １ ２． 移􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 方程两边都加上 ( －２ ２ ) ２,得x２－２x＋ ( －２ ２ ) ２ ＝ １ ２＋ ( －２ ２ ) ２,即(x－１)２＝ ３ ２． 配􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺 由平方根的意义,得x－１＝± ６ ２ , 所以x１＝１＋ ６ ２ ,x２＝１－ ６ ２． 解􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺􀆺   > M 　　 配 方 法 就 是 通 过 配 方,把一元二次方程转化 为可 以 用 直 接 开 平 方 法 求解的形式,最终实现了 “降次”的目的,这种方法 原则 上 适 用 于 任 何 形 式 的一元二次方程求解． 数学　九年级　上册 ５０　 0  0 常考题型解读 １．用配方法解方程: (１)x(x－４)＝２; (２)２x２＋６x＝２; (３)５x２－２x－１＝０． 题型一　用配方法灵活求解一元二次方程 【例１】用配方法解方程: (１)４x２－４x－１＝０;　　(２)(２x－３)２＋４＝１３; (３)(２x＋１)２＋(x＋１)２＝１３． 思路分析 按照“化→移→配→解”四步法求解方程,同 时要观察方程的特点,灵活求解． 解 (１)解法一 方程的两边同时除以４,得x２－x－ １ ４＝０ , 移项,得x２－x＝ １ ４ , 配方,得x２－x＋ １ ４＝ １ ４＋ １ ４ ,即 (x－ １ ２) ２ ＝ １ ２ , 所以x－ １ ２＝± ２ ２ , 所以x１＝ １＋ ２ ２ ,x２＝ １－ ２ ２ ． 解法二 方程的两边同时加上２,得４x２－４x＋１＝２, 即(２x－１)２＝２,所以２x－１＝± ２, 所以x１＝ １＋ ２ ２ ,x２＝ １－ ２ ２ ． (２)移项,得(２x－３)２＝９． 两边开平方,得２x－３＝±３,即２x＝±３＋３． 所以x１＝３,x２＝０． (３)原方程变形为５x２＋６x－１１＝０． 两边同时除以５,得x２＋ ６ ５x－ １１ ５＝０． 移项,得x２＋ ６ ５x＝ １１ ５． 配方,得x２＋ ６ ５x＋ ９ ２５＝ １１ ５＋ ９ ２５ ,即 (x＋ ３ ５) ２ ＝ ６４ ２５． 第二章　一元二次方程 ５１