1.3 正方形的性质与判定-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

第一章　特殊平行四边形 ２５　 0  0 ３　正方形的性质与判定 M > M 知识点一　正方形的定义 １．定义:有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行  
四边形叫做正方形． ２．图解 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:由正方形的定义,知正方形既是特殊的菱形, 又是特殊的矩形,即有一个角是直角的菱形是正方 形,有一组邻边相等的矩形是正方形． 【例１】如图,在△ABC 中,D,E,F 分 别是AB,AC,BC 的中点．当△ABC 满足什么条件时,四边形 DAEF 是 正方形? 请说明理由． 解 当△ABC 满足AB＝AC,且∠A＝９０°时,四边形 DAEF 是正方形．理由如下: 因为D,E,F 分别是AB,AC,BC 的中点, 所以DF∥AC,EF∥AB,DF＝ １ ２AC ,EF＝ １ ２AB ,      所以四边形DAEF 是平行四边形． 因为AC＝AB,所以DF＝EF． 又因为∠A＝９０°, 所以四边形DAEF 是正方形． 　　如图,用图示法表示平行四边形、菱形、矩形、正 方形之间的从属关系: 正方形既是矩形,又是菱形． 数学　九年级　上册 ２６　 0  0   > M (１)正方形的每条对角线 都平分一组对角; (２)正方形的每条对角线 都把正方形分成两个全等 的等腰直角三角形,两条 对角线把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形． 知识点二　正方形的性质 图形 性质 符号表示 正方形ABCD 边 四条边相等 AB＝BC＝CD＝DA 角 四个角都是直角 ∠ABC ＝ ∠BCD ＝ ∠CDA＝∠DAB＝９０° 对 角 线 对角线相等,且 互相垂直平分 AC＝BD,AC⊥BD, OA＝OB＝OC＝OD 对 称 性 (１)是轴对称图形,有四条对称轴; (２)是中心对称图形,对称中心是两条对 角线的交点 【例２】如图,在正方形ABCD 中,点E,F 分别在BC,CD 上,AE＝BF,AE 与BF 相交于点O,求证:AE⊥BF． 证明 因为四边形ABCD 是正方形, 所以∠ABE＝∠BCF＝９０°,AB＝BC． 在Rt△ABE 和Rt△BCF 中, AB＝BC, AE＝BF,{ 所以Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)． 所以∠BAE＝∠CBF． 因为∠BAE＋∠BEA＝９０°, 所以∠CBF＋∠BEA＝９０°, 所以∠BOE＝９０°,所以AE⊥BF． 4 正方形的性质多,边、角、对角线三个方面来掌握 正方形的四条边相等,四个角都是直角,对角线 相等且互相垂直平分．在应用这些性质时,不要混淆, 一般要结合等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等 三角形等知识来解决问题． 第一章　特殊平行四边形 ２７　 0  0 知识点三　正方形的判定 正方形的判定方法汇总如下: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋知识图解:四边形之间的关系如图所示． 【例３】如图,在平行四边形ABCD 中, 对角线 AC,BD 交于点O,E 是DB 延长线上一点．若AE＝CE,∠BAO＝ ∠ABO．求 证:四 边 形 ABCD 是 正 方形． 证明 因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AO＝CO． 因为AE＝CE,所以EO⊥AC,所以AC⊥BD, 所以四边形ABCD 是菱形． 又因为∠BAO＝∠ABO, 所以OA＝OB,所以OA＝OB＝OC． 所以△AOB,△BOC 都是等腰直角三角形, 所以∠ABO＝∠CBO＝４５°,所以∠ABC＝９０°, 所以菱形ABCD 是正方形． 知识点四　中点四边形 １．中点四边形的形成 依次连接任意四边形各边中点就能得到一个中点四 边形．   > M (１)如果一个四边形既是菱形 又 是 矩 形,那 么 它 就 是 正 方形． (２)判定正方形的一般顺序: 先证明它是平行四边形→再 证明它是菱形(或矩形)→最 后证明它是正方形．如图所示． 正方形一定是矩形,矩形只有 邻边相等时才能是正方形． 数学　九年级　上册 ２８　 0  0 　　中点四边形的形状与原 四边形的形状无关,只取