1.1 菱形的性质与判定-【教材解读】2023秋九年级上册初三数学（北师大版)

１　 0  0 - @   



 第一章　特殊平行四边形 １　菱形的性质与判定 M > M 知识点一　菱形的定义   定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)菱形的定义既是菱形的性质,也是菱形的 基本判定方法． (２)菱形是特殊的平行四边形,但平行四边形不一 定是菱形． BA CD E F【例１】如图,在▱ABCD 中,点E,F 分别在AB,CD 上,且AE＝CF． (１)求证:△ADE≌△CBF; (２)若DF＝BF,求证:四边形DEBF 是菱形． 证明 (１)因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AD＝BC,∠A＝∠C． 因为在△ADE 和△CBF 中, AD＝CB, ∠A＝∠C, AE＝CF, ì î í ï ï ï ï 所以△ADE≌△CBF(SAS)． (２)因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以AB∥CD,AB＝CD． 因为AE＝CF,所以DF＝EB． 所以四边形DEBF 是平行四边形． 又因为DF＝BF,所以平行四边形DEBF 是菱形． 利用定义证菱形,两个步骤要记清 第１步:判定这个四边形是平行四边形; 第２步:找一组邻边证相等． 生活中的菱形 =D 9 3E D,0 数学　九年级　上册 ２　 0  0   > M 　　根据菱形的对角线互相 垂直与等腰三角形“三线合一” 的性质,可以得到“菱形的每条 对角线都平分一组对角”． +DF,0U>3 ,,UE@=D 6M5U 通过 对 菱 形 性 质 的 分析不难发现: (１)因菱形的四条边都相 等,所以以邻边为腰有四 个等腰三角形,每一条对 角线 把 菱 形 分 成 两 个 全 等的等腰三角形． (２)因为菱形的对角线互 相垂直,所以以其对角线 的交 点 为 顶 点 有 四 个 全 等的直角三角形． 因此,由等腰三角形和直 角三 角 形 的 性 质 入 手 往 往是 解 答 关 于 菱 形 问 题 的好方法． 知识点二　菱形的性质 １．菱形的性质定理 (１)菱形的四条边相等． (２)菱形的对角线互相垂直． ２．菱形的性质汇总 菱形是特殊的平行四边形,所以既具有平行四边形的 所有性质,又具有自己单独的性质,总结如下: 菱 形 的 性 质 边:四条边都相等,对边互相平行 角 两组对角分别相等 邻角互补{ 对角线 互相平分 互相垂直 分别平分一组对角 ì î í ï ï ï ï 对称性 是轴对称图形,两条对角线所在的 直线就是对称轴 是中心对称图形,对称中心是对角 线的交点 ì î í ï ï ï ï ï ï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ïï ï ï ï ï ï ï ï ï BA CD E O 【例２】如图,在菱形ABCD 中, 对角线AC,BD 相交于点O, 过点D 作对角线BD 的垂线 交BA 的延长线于点E． (１)求证:四边形ACDE 是平行四边形; (２)若BE＝１０,BD＝６,求菱形对角线AC 的长度． (１)证明 因为四边形ABCD 是菱形, 所以AB∥CD,AC⊥BD, 所以AE∥CD,∠AOB＝９０°． 因为DE⊥BD,即∠EDB＝９０°, 所以∠AOB＝∠EDB,所以DE∥AC, 所以四边形ACDE 是平行四边形． (２)解 因为四边形ACDE 是平行四边形, 所以DC＝AE． 因为四边形ABCD 是菱形,BD＝６, 所以AC⊥BD,AB＝DC＝AE,OB＝３,OA＝OC, 所以BE＝２AE＝２AB＝１０,所以AB＝５． 第一章　特殊平行四边形 ３　 0  0 在Rt△AOB 中,OA＝ AB２－OB２ ＝ ５２－３２ ＝４, 所以AC＝２OA＝８． 解答与菱形的性质有关的问题时,先分析所求结 论所需的条件,根据菱形的性质进行寻找．如果不能 直接得出,则对结论进行适当的变形,直至找到思路, 然后正确地写出步骤． 知识点三　菱形的判定 菱形的 判定 定义法:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 判定定理１(对角线):对角线互相垂直的平行四 边形是菱形 判定定理２(边):四边相等的四边形是菱形 ì î í ï ï ï ï ï ï A B C D E F【例３】如图,在 △ABC 中,AB＝AC, ∠B＝６０°,∠FAC,∠ECA 是 △ABC 的两个外角,AD 平分∠FAC,CD 平分 ∠ECA．求证:四边形ABCD 是菱形． 证明 因为AB＝