第一章 勾股定理 考前复习笔记-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

第一章　勾股定理 ２５　 0  0 考前复习笔记 回顾本章所学知识,尝试画出思维导图． 数学　八年级　上册 ２６　 0  0 专题一　勾股定理的应用 　　勾股定理体现的是直角三角形的两 直角边长的平方和与斜边长的平方的关 系,应用勾股定理可以解决以下问题: (１)已知直角三角形中任意两边的长,求 第三边的长;(２)已知直角三角形的一边 长,求另外两边长的关系;(３)已知两条 边长,求直角三角形斜边上的高;(４)已 知三 边 的 长,求 斜 三 角 形 边 上 的 高; (５)通过构造方程解决实际问题． 【例１】如图所示,C 为线段AE 上一点, 在 AE 同 侧 以 CE 为 边 作 正 方 形 CBFE 和 以 AC 为 一 条 直 角 边 作 Rt△ACB,并作CD⊥AB 于点D,若 正方形 CBFE 的面积S＝６４,AB＝ １７,求CD 的长． 解 因为正方形CBFE 的面积S＝６４, 所以BC２＝６４． 所以BC＝８． 在Rt△ACB 中,∠ACB＝９０°,AB＝１７, 所以AC２＋BC２＝AB２． 所以AC＝１５． 因为CD⊥AB 于点D, 所以S△ABC＝ １ ２AB 􀅰CD＝ １ ２AC 􀅰BC, 即 １ ２×１７ 􀅰CD＝ １ ２×１５×８． 所以CD＝ １２０ １７． 4 　　求直角三角形斜边上的高,一般 利用等积法列方程解答． 专题二　勾股定理逆定理的应用 　　如果三角形的三边长分别为a,b,c (c是最大边长),且满足a２＋b２＝c２,那 么这个三角形是直角三角形．利用勾股定 理的逆定理不仅可以判断三角形的形 状,还可以证明两直线的垂直关系． 【例 ２】如 图 所 示,∠BCA ＝ ∠DCE, BC＝AC,CD ＝CE,AD２ ＋BD２ ＝ DE２,试探索△ABC 三边之间的关系． 解 因为∠BCA＝∠DCE, 所以∠BCA－∠DCA＝∠DCE－∠DCA, 所以∠BCD＝∠ACE． 在△BCD 和△ACE 中, BC＝AC, ∠BCD＝∠ACE, CD＝CE, ì î í ï ï ï ï 所以△BCD≌△ACE． 所以∠B＝∠CAE,BD＝AE． 因为AD２＋BD２＝DE２, 所以AD２＋AE２＝DE２． 第一章　勾股定理 ２７　 0  0 　所以∠DAE＝９０°． 所以∠DAC＋∠CAE＝９０°． 所以∠DAC＋∠B＝９０°． 因为∠DAC＋∠B＋∠ACB＝１８０°, 所以∠ACB＝９０°． 所以AC２＋BC２＝AB２． " 　　探索三角形三边之间的关系,实 质上是探索三角形的形状,通常需要 运用勾股定理及其逆定理、全等三角 形的判定与性质、直角三角形的两个 锐角互余等知识． 专题三　 勾股定理及其逆定理的实 际应用 　　勾股定理及其逆定理是非常重要且 应用广泛的定理．解答一些实际问题时, 常常需要借助勾股定理及其逆定理,同 时结合方程来解决问题． 【例３】如图,小溪边有两棵笔直的棕榈 树AB 和DC,恰好隔岸相望．棕榈树 DC 高３０肘尺(肘尺是古代的长度单 位),棕榈树AB 高２０肘尺;两棵棕榈 树的树干间的距离BC 是５０肘尺．两 棵树的树顶A,D 上分别停着一只鸟． 忽然,两只鸟同时看见棕榈树间的水 面E 处有一条鱼,它们立刻以相同的 速度飞去抓鱼,并且同时到达目标处． 求这条鱼出现的地方离棕榈树DC 的 距离CE． 解 由题意可知,AE＝DE,AB＝２０肘 尺,DC＝３０肘尺,BC＝５０肘尺． 设EC＝x肘尺,则BE＝(５０－x)肘尺． 在Rt△ABE 和Rt△DEC 中, AE２＝AB２＋BE２＝２０２＋(５０－x)２, DE２＝DC２＋EC２＝３０２＋x２． 又因为AE＝DE, 所以３０２＋x２＝２０２＋(５０－x)２, 解得x＝２０． 答:这条鱼出现的地方离棕榈树 DC 的距离CE 为２０肘尺． 4 　　在有共边或者具备等边的两个直 角三角形中求未知边的时候,通常先 依据勾股定理列出方程再解答．解答此 类问题的关键是将实际问题抽象成数 学模型．