7.4 平行线的性质-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

数学　八年级　上册 ２３２　 0  0 ４　平行线的性质 􀅰掌握平行线的性质定理及定理的证明,了解性质与判定的联系,初步感受互逆 的思维过程． 􀅰能熟练运用平行线的性质定理进行简单的证明或计算． 􀅰通过“两直线平行,同位角相等”的证明,体会反证法,进一步理解证明的方法、 步骤和格式． M  > M ?1=60° ?2=60° 两 直 线 平 行,故 ∠１＝ ∠２＝６０°． 两直线平行是前提, 只有在这个前提下,才有 同位角相等;若两直线不 平行,则 同 位 角 一 定 不 相等． 知识点一　平行线的性质定理(一) 　两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等． 简述为:两直线平行,同位角相等． 【例１】如图,已知BC∥AD,BE∥AF． 求证:∠A＝∠B． F ED C B A O 证明 因为BC∥AD(已知), 所以∠B＝∠DOE(两直线平行,同位角相等)． 又因为BE∥AF(已知), 所以∠DOE＝∠A(两直线平行,同位角相等)． 所以∠A＝∠B(等量代换)． 　　在有平行线的前提下,若要求证相等的两个角不 是两平行线被截所得的角,则要借助一个中间量,将 两者联系起来． 第七章　平行线的证明 ２３３　 0  0 知识点二　平行线的性质定理(二) 　两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等． 简述为:两直线平行,内错角相等． 【例２】如图,已知AE∥BF,∠A＝∠F． 求证:∠C＝∠D． FED CBA 证明 因为AE∥BF(已知), 所以∠F＝∠AED(两直线平行,同位角相等)． 因为∠A＝∠F(已知), 所以∠A＝∠AED(等量代换)． 所以AB∥DF(内错角相等,两直线平行)． 所以∠C＝∠D(两直线平行,内错角相等)． 　　平行线的性质与判定可以综合运用于证明角相 等的问题中,利用平行可以得到相等的同位角或者内 错角．同样,也可以利用相等的同位角或者内错角得 到两直线平行,它们都可以作为过渡的桥梁． 知识点三　平行线的性质定理(三)   　两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补． 简述为:两直线平行,同旁内角互补． 【例３】如图,点D,E,F 分别是三角形ABC 的边AB, BC,AC 上的点,DE∥AC,EF∥AB． 求证:∠A＝∠DEF． C F A D EB  *>+
F2
- +
 42
  * +
42
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 平行线的判定与平行线的 性质的区别 (１)平行线的判定是根据 两角 的 数 量 关 系 得 到 两 条直线的位置关系,而平 行线 的 性 质 是 由 两 条 直 线的 位 置 关 系 得 到 两 角 的数量关系． (２)平行线的判定的条件 是平行线的性质的结论, 而平 行 线 的 判 定 的 结 论 是平行线的性质的条件． *=3+ B - >K+ ,02 E - >K+ =2 U 数学　八年级　上册 ２３４　 0  0 应用平行线性质的两点注意 (１)新 旧 结 合:平 行 线 的 性质 往 往 与 以 前 学 习 的 对顶角、补角等知识相结 合来计算一些角的度数． (２)搭 桥 过 河:两 条 直 线 没有被同一条直线所截, 不能 利 用 平 行 线 的 性 质 时,往 往 要 添 加 辅 助 线, 构造 第 三 条 直 线 作 为 连 接已知直线的桥梁． 平行线的性质定理(四)也 称为平行线的传递性,可以扩 展到多条直线平行的判定之中． 平行线的性质结论补充 (１)夹在两条平行线间的垂线 段相等． (２)垂直于两平行线之一的直 线必垂直于另一条直线． 　证明 因为DE∥AC(已知), 所以∠ADE＋∠A＝１８０°(两直线平行,同旁内角互补)． 因为EF∥AB(已知), 所以∠ADE＋∠DEF＝１８０°(两直线平行,同旁内角 互补)． 所以∠A＝∠DEF(同角的补角相等)．   > M 知识点四　平行线的性质定理(四) 　平行于同一条直线的两条直线平行． 可表述为如果a∥b,b∥c,那么a∥c． 【例４】如图所示,∠１＝∠２,AB∥EF． 求证:∠３＋∠４＝１８０°． B D FE C A 1 2 3 4 证明 因为∠１＝∠２(已知), 所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行)． 因为AB∥EF(已知), 所以CD∥EF(平行于同一条直线的两条直线平行)． 所以∠３＋∠４＝１８０°(两直线平行,同旁内角互补)． 知识点五　证明的一般步骤 　解答证明题的一般步骤: (１)画出图形———根据题意画出图形,标上必要的字母; (２)写已知、求证———用符号表示命题的条件和结论; (３)证明———用“因为􀆺􀆺所以􀆺􀆺”,并注明相应的 依据,写出证明过程． 第七章　平行线的证明 ２３５