4.4 一次函数的应用-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

数学　八年级　上册 １３０　 0  0 ４　一次函数的应用 􀅰会求正比例函数和一次函数的表达式,并会解决有关问题． 􀅰能通过函数图象获取信息并分析解决问题,发展几何直观． 􀅰初步体会函数与方程的联系． M  > M 正比例函数的表 达 式 为 y＝kx(k≠０),确定正比例函 数表达式的关键是求k 的值, 所以只要知道自变量与函数 值的一对对应值或函数图象 上一个点的坐标列出方程即 可求k 的值,从而确定正比例 函数的表达式,这种求函数表 达式的方法叫做待定系数法． (１)确定正比例函数y＝ kx 中k 的值,只需解一个 一元一次方程即可． (２)利 用 待 定 系 数 法,一 定要准确代入数值,并正 确计算． 知识点一　确定正比例函数的表达式 　待定系数法求正比例函数表达式的一般步骤 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:直线y＝kx(k≠０)上除原点外任意一点的坐 标,均可以作为已知量代入函数表达式中,构造关 于k 的一元一次方程． 【例１】已知正比例函数的图象经过点(－３,６)． (１)求这个正比例函数的表达式; (２)若这个图象还经过点A(a,８),求点A 的坐标． 解 (１)设这个正比例函数的表达式为y＝kx(k≠０)． 因为正比例函数的图象经过点(－３,６), 所以６＝－３k, 解得k＝－２, 所以y＝－２x． (２)把点A 的坐标代入y＝－２x,得８＝－２a, 解得a＝－４, 所以点A 的坐标是(－４,８)． 第四章　一次函数 １３１　 0  0 知识点二　确定一次函数的表达式 　一次函数的表达式y＝kx＋b(k≠０)中,只有确定了 k和b的值,才能得到一次函数的表达式．求k和b的 值需要的两个条件一般出现的形式为: (１)两个条件以“形”的形式出现,如已知直线上的两 个点; (２)两个条件以“数”的形式出现,如已知满足表达式 y＝kx＋b的两组x,y 的值． 要根据给出的条件灵活处理,进而确定一次函数的表 达式． 【例 ２】如 图,已 知 直 线l 经 过 点 A(－２,０)和点B(０,２),求直线l对 应的函数表达式． 解 设直线l 对应的函数表达式为 y＝kx＋b(k≠０), 将点A(－２,０)和点B(０,２)的坐标分别代入y＝ kx＋b中,得０＝－２k＋b,２＝b,解得k＝１,b＝２． 所以直线l对应的函数表达式为y＝x＋２． 　　由函数图象求一次函数的表达式,关键是找出图 象上的两点,将其坐标代入函数表达式,解出k 和b 的值即可．选取点时,一般取图象与x 轴、y 轴的交 点,以便求解． 知识点三　一次函数的实际应用 １．一次函数的图象能直观地反映两个变量之间的关系, 利用图象提供的信息,我们可以对两个变量之间的关 系作出判断和预测,从而用来解决实际问题． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:根据图象可判断函数类型,若直线过原点,则直 线表示的是正比例函数(除直线x＝０,y＝０外)的图 象;若直线不过原点,则直线表示的是一次函数的图象． (１)“两个条件”通常是两个点 的 坐 标 或 两 组 对 应 的 x,y 的值． (２)一次函数图象与y 轴交点 的纵坐标即为b的值． 若直线经过原点,其 函数表达式可以设为y＝ kx(k≠０),若直线不经过 原点,其函数表达式可以 设为y＝kx＋b(k≠０)． (x 1y 1) (x 2y 2) ED   k b+ ! 数学　八年级　上册 １３２　 0  0 一次函数的应用,需先理 解图象信息,必要时求出函数 表达式,根据函数图象的性质 解题．自变量的取值要根据实 际情况 来 求．函 数 的 最 值,一 般要在自变量取值范围的两 端取值． 分段函数反映在 函 数 表 达式中,就是每一段都有对应 的表达式．自变量的取值范围 不 同,则 函 数 的 表 达 式 就 不同． 借助图象求函数 表达式的方法 第１步:分析题目中的已 知条件,找出题目中的相 等关系; 第２ 步:根 据 图 象,确 定 两个变量之间的关系; 第 ３ 步:设 出 函 数 表 达 式,根据图象上相应点的 坐标,用待定系数法代入 求解． ２．解图象型一次