4.2 一次函数与正比例函数-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

数学　八年级　上册 １１６　 0  0 ２　一次函数与正比例函数　 　 􀅰理解正比例函数和一次函数的概念,体会建模思想． 􀅰能根据所给条件写出正比例函数和简单的一次函数的关系式,并解决有关实 际问题． M  > M 一次 函 数 关 系 式 是 一个等式,其左边是y,右 边是关于自 变 量x 的 整 式,必要时要对式子进行 变形． ,U+AU   知识点一　一次函数的概念 　若两个变量x,y 间的对应关系可以表示成y＝kx＋ b(k,b 为常数,k≠０)的形式,则称y 是x 的一次 函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋注意:(１)一次函数中的“一次”实质是指自变量x 的次数是１; (２)k 为常数,且k≠０,常数项b可以是任意实数． 【例１】下列函数关系式:①y＝－８x;②y＝－ ３ x ;③y＝ x＋１;④y＝－５x２＋１;⑤y＝０．５x－３,其中一次函 数有 (　　) A．１个　　　B．２个　　　C．３个　　　D．４个 解析 序号 是否为一 次函数 原因 ① 是 符合一次函数的概念 ② 否 分母中含有自变量,不符合一次函数的形式 ③ 否 自变量x 的次数不是１,不是一次函数 ④ 否 自变量x 的次数是２,不是一次函数 ⑤ 是 符合一次函数的概念 答案 B 第四章　一次函数 １１７　 0  0 判断函数是否为一次函数的方法 (１)看y 与x 之间的关系式是否为整式的形式． (２)将函数关系式恒等变形,看是否符合y＝kx＋b 的结构特征: ①k 为常数,且k≠０; ②自变量x 的次数是１; ③常数项b可以为任意实数． 知识点二　正比例函数的概念 　对于一次函数y＝kx＋b,当b＝０时,y＝kx(k 为常 数,k≠０),称y 是x 的正比例函数． 举例如下: 【例２】下列问题中,两个变量之间是正比例函数关系的 是 (　　) A．汽 车 以 ８０km/h 的 速 度 匀 速 行 驶,行 驶 路 程 y(km)与行驶时间x(h)之间的关系 B．正方形的面积y(cm２)与它的边长x(cm)之间的 关系 C．一支蜡烛长１２cm,点燃后每小时缩短３cm,剩余 蜡烛的长度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的关系 D．有一个棱长为x 的正方体,它的表面积S 与棱长 x 之间的关系 解析 选项 A中,y＝８０x,属于正比例函数,两个变量 之间成正比例函数关系,符合题意; 选项B中,y＝x２,不符合一次函数的概念,因此两个 变量之间不成正比例函数关系,不符合题意; 选项C中,y＝１２－３x,属于一次函数,两个变量之间 不成正比例函数关系,不符合题意; 一次函数与正比例函数的关系 !    正比例函数是 一 次 函 数 的特例,即正比例函数一定是 一次函数,但一次函数不一定 是正比例函数． 若已知y 与x 成 正 比,则可设函数关系式为 y＝kx(k 为常数,k≠０); 若已知y 是x 的一次函 数,则可设函数关系式为 y＝kx＋b(k,b 为常数, k≠０)． 数学　八年级　上册 １１８　 0  0 熟记正比例函数 的 一 般 形式,并注意概念中对比例系 数的要求． 由实际问题抽象 出 一 次 函数关系式,主要是正确理解 题意,找 出 题 目 中 的 等 量 关 系,列出等式,进而得到函数 关系式,并根据条件确定自变 量的取值范围． (１)在 实 际 问 题 中,自 变 量的 取 值 范 围 要 使 实 际 问题有意义． (２)对 于 实 际 问 题,自 变 量的取值范围发生改变, 函数 关 系 式 有 可 能 随 之 发生改变． 　选项 D中,S＝６x２,不符合一次函数的概念,因此两 个变量之间不成正比例函数关系,不符合题意． 答案 A (１)判断正比例函数需要注意的三点: ①自变量的次数为１; ②常数项为０; ③自变量的系数不为０． (２)判断实际问题中两个变量之间是否为正比例函数 关系时,要先列出函数关系式再判断． 知识点三　根据条件列一次函数关系式 　认真分析、探究实际问题中的有关信息,在此基础上 建立数学模型,从而解决问题． 根据条件列一次函数关系式的一般步骤: 第１步:认真分析,理解题意; 第２步:和列方程解应用题的思路一样,找出等量关系; 第３步:写成一次函数关系式y＝kx＋b(k,b 为常 数,k≠０)的形式; 第４步:注意自变量x 的取值范围,必要时,写出x 的取值范围． 【例３】A,B 两地相距４００km,甲车