1.3 勾股定理的应用-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

第一章　勾股定理 １７　 0  0 ３　勾股定理的应用 􀅰会用勾股定理求解立体图形上两点之间的最短路线长问题． 􀅰能应用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,进一步发展应用意识． M  > M 知识点一　确定几何体上的最短路线长 　 确定几何体上两点之间的最短路线长 求长方体(或正方体)两个不同面 上两点间的最短路线长 求圆柱侧面上两点间 的最短路线长 先将长方体(或正方体)的表面展 成平面图形,展开时一般要考虑 各种可能的情况 (特 别 是 长 方 体)．在各种可能的情况中,分别 确定两点的位置并连接成线段, 再利用勾股定理分别求其长度, 长度最短的路线为最短路线 先将圆柱的侧面展开, 确定两点的位置,连接 两点的线段即为最短 路线,再在直角三角形 中,利用勾股定理求其 长度即可 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋总结:在平面上寻找两点之间的最短路线的依据是 两点之间,线段最短．在立体图形中,由于受物体和 空间的阻隔,两点间的最短路径不一定是两点间的 线段长,应先将立体图形展成平面图形,再利用平 面图形中线段的性质确定最短路线． 【例１】如图,已知圆柱底面的周长为８dm,圆柱高AB 为３dm,BC 为底面直径．在圆柱的侧面上,若过A, C 两点嵌一圈金属丝进行装饰,至少要准备多长的金 属丝?   > M 求立 体 图 形 上 最 短 路线长时,要先把立体图 形展成平面图形,再计算 最短路线长．展开时,可能 会有多种展开方法,进而 得到不同的路线,要比较 后再确定最短路线长． 数学　八年级　上册 １８　 0  0 在曲面上确定最短路线, 一般沿着出发点(或终止点) 所在的垂直于底面圆直径的 线展 开,以 此 构 造 直 角 三 角 形,然 后 应 用 勾 股 定 理 解 决 问题． 没有 直 角 三 角 形 这 个前提条件,不能够使用 勾股 定 理 进 行 运 算 或 者 说明． 　解 如图,把圆柱的侧面展开,得到一个长方形,其中 AB⊥CC′,BC＝BC′,易得△ABC≌△ABC′,AC＝ AC′,则这圈金属丝的周长最小为２AC． 因为圆柱底面的周长为８dm, 所以BC＝BC′＝４dm． 在Rt△ABC 中,∠ABC＝９０°,AB ＝３dm,BC＝ ４dm, 所以AC２＝３２＋４２＝２５, 所以AC＝５dm． 所以２AC＝１０dm． 答:至少要准备１０dm 的金属丝． 求立体图形上最短路线长的一般步骤 (１)将立体图形展成平面图形; (２)确定相关点的位置; (３)构造直角三角形; (４)利用勾股定理求解． 知识点二　利用勾股定理的逆定理解决实际问题 　在实际生产、生活中常遇到判断两直线是否垂直的问 题,即判断这两条直线构成的角是不是直角．若没有 测量直角的工具,则可构造三角形,通过测量三边的 长度,利用勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是 直角三角形,从而判断该角是不是直角． 第一章　勾股定理 １９　 0  0 【例２】如图,某港口P 位于东西方向的海岸线上．甲、乙 两艘巡逻船同时离开港口,各自沿一定方向执法巡 逻,甲巡逻船每小时航行１６nmile,乙巡逻船每小时 航行１２nmile,它们离开港口１．５h后分别位于点 Q,R 处,且相距３０nmile． (１)求PQ,PR 的长度; (２)试判断甲、乙两巡逻船的航行方向是否垂直． 解 (１)由题意,得PQ＝１６×１．５＝２４(nmile),PR＝ １２×１．５＝１８(nmile)． (２)由题意及(１)可知,PR＝１８nmile,PQ＝２４nmile, QR＝３０nmile． 因为１８２＋２４２＝３０２,所以PR２＋PQ２＝QR２． 所以△RPQ 是直角三角形,且∠RPQ＝９０°．} 所以甲、乙两巡逻船的航行方向垂直． 生活 中 判 断 两 直 线 是否垂直,常将实际问题 转化为数学问题,利用勾 股定理的逆定理解决,体 现了转化的思想方法． 常考题型解读 题型一　立体图形上的最短路线长问题 【例１】如图,已知长方体的长 AC＝２,宽 BC＝１,高 AA′＝４．一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到 B′点,那么沿哪条路线爬行最近? 最短路程是多少? 思路分析 将长方体按照不同的方式展开,构造直角三 角形,利用勾股定理求解即可． １．如图,一块长方体砖宽AN＝ ５cm,长 ND ＝１０cm,CD 上的点B 距地面的高BD＝ ８cm,地面上A 处有一只蚂 蚁要