1.1 探索勾股定理-【教材解读】2023秋八年级上册初二数学（北师大版)

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 第一章　勾股定理 １　探索勾股定理 􀅰经历探索、验证勾股定理的过程,了解勾股定理的各种探究方法及其内在联 系,进一步发展空间观念． 􀅰掌握勾股定理,并能运用勾股定理解决一些实际问题． M  > M 知识点一　勾股定理的探究 　 勾股定理 文字语言 符号语言 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方 如果用a,b和c分别表示直角 三角形的两直角边和斜边,那么 a２＋b２＝c２ 【例１】在 Rt△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,∠C＝９０°． (１)已知a＝８,b＝１５,求c; (２)已知c＝２５,b＝２４,求a; (３)已知a∶b＝３∶４,c＝２０,求a,b的值． 解 因为∠C＝９０°,所以a２＋b２＝c２． (１)因为a＝８,b＝１５,所以８２＋１５２＝c２． 所以c＝１７． (２)因为c＝２５,b＝２４,所以a２＋２４２＝２５２． 所以a＝７． (３)设a＝３x(x＞０),因为a∶b＝３∶４,所以b＝４x． 所以(３x)２＋(４x)２＝２０２．所以x＝４． 所以a＝１２,b＝１６． 中国古代著名 的 数 学 著 作«周髀算经»的开头,记载着 一段周公向商高请教数学知 识的对话．商高的话译文大意 是:当直角三角形“矩”得到的 一条直角边“勾”等于３,另一 条直角边“股”等于４的时候, 那么 它 的 斜 边 “弦”就 必 定 是５． 在 Rt△ABC 中,斜 边不一定用c 来表示,只 有直 角 所 对 的 边 才 是 斜 边,因 此 当 ∠A＝９０°时, a２＝b２＋c２;当∠B ＝９０° 时,b２＝a２＋c２． 数学　八年级　上册 ２　 0  0 利用 拼 接 或 割 补 法 验证勾股定理,关键是利 用 图 形 的 面 积 相 等,将 “形”的 问 题 转 化 为“数” 的问题．常见的其他验证 方式如图所示． 　　在直角三角形中运用勾股定理求未知边长时,首 先应辨别待求的边是直角边还是斜边,若没有明确哪 条边是斜边,需要进行分类讨论． 知识点二　勾股定理的验证 勾股定理的验证方法有很多,可以用测量计算,可以 用代数式的变形,也可以用几何方法说明,其中用面 积方法(图形的割补、拼接)验证是最常见的一种方 法．根据同一图形的面积的不同表示方法,列出等式, 通过化简即可验证． 示例如下: 如图,将边长分别为a 与b,对角线 为c的长方形纸片ABCD,绕点C 顺 时针旋转９０°得到长方形FGCE． 勾股定理验证如下: 如图,连接AF,AC,CF． 由题意易得Rt△ABC≌Rt△CEF, 所以∠ACB＝∠CFE,∠CAB＝∠ECF． 因为∠B＝∠BCD＝∠DCE＝∠E＝９０°, 所以∠CAB＋∠ACB＝∠CFE＋ ∠ECF＝９０°, ∠BCD＋∠DCE＝１８０°． 所以∠ACD＋∠DCF＝１８０°－ (∠ACB＋∠ECF)＝９０°, 即∠ACF＝９０°． 因为S梯形ABEF＝S△ABC＋ S△ACF＋S△ECF, 且S梯形ABEF＝ １ ２ (a＋b)２, 所以 １ ２ (a＋b)２＝ １ ２ab＋ １ ２c ２＋ １ ２ab． 所以a２＋b２＝c２． 第一章　勾股定理 ３　 0  0 知识点三　勾股定理的应用 勾股定理主要用来解决有关直角三角形边长的计算问 题,最简单的应用是已知两边长求第三边长．勾股定理 在生活中有广泛应用．例如,长度、高度、距离、面积、体 积等问题都可以利用勾股定理来解答．其基本思路是 将实际问题转化为有关直角三角形的边长问题． 利用勾股定理解决实际问题的步骤: 【例２】如图所示,有两棵树,一棵高 １２m,另一棵高 ６ m,两树相距 ８m．一只小鸟从一棵树的树梢飞 到另一棵树的树梢去吃虫子,问: 小鸟至少飞行了多少米? 建模———解 过点C 作CE⊥AB,垂足为E,连接AC,如 图所示．其中AB＝１２m, BD＝８m,CD＝６m． 寻找———由题意,知∠AEC＝９０°, BE＝CD,EC＝BD． 所以 AE ＝AB －BE ＝ AB－CD＝１２－６＝６(m)． 建立———在 Rt△AEC 中,由 勾 股 定 理,得 AC２ ＝ AE２＋EC２＝６２＋８２＝１００, 求解、 作答 ——— 解得AC＝１０m, 所以小鸟至少飞行了１０m． 勾股定理应用广,注意三点避弯路 (１)求线段长度的问题中,要想到勾股定理; (２)要求的线段在直角三角形中,才能使用勾股定理; (３)分辨清斜边和直角边．   > M 勾股定理的应用口诀 勾股定理用处大, 求边长时要用它; 已知两边求余边, 求直用差斜用和; 若是两边含未知, 构造方程来求值． 数学　八年级　上册 ４　 0  0 常考题型解读 逻辑思维 例题解法涉及了 构 造 直 角三角形和勾