重难点05 “阿基米德折弦定理”模型-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

重难点05 “阿基米德折弦定理”模型 1.识别几何模型。 2.利用“阿基米德折弦定理”模型解决问题 一．解答题（共5小题） 1．（2023•东港区校级一模）如图：已知点A、B、C、D顺次在圆O上，AB＝BD，BM⊥AC，垂足为M．证明：AM＝DC+CM．（阿基米德折弦定理） 2．（2021•方城县模拟）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD． 下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程． 证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC 任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是　 　． 3．（2021秋•海州区校级期中）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题发现】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD，垂足为E． 求证：BE＝DE+AD． 【问题探究】小明同学的思路是：如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF．…… 请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD，过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝，则△BCD的周长为 　 　． 【变式探究】如图4，若将【问题发现】中“点C为的中点”改为“点C为优弧的中点”，其他条件不变，上述结论“BE＝DE+AD”还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出BE、AD、DE之间的新等量关系，并加以证明． 4．（2023•海口一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程． 证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG． ∵M是的中点， ∴MA＝MC， 又∵∠A＝∠C，BA＝GC， ∴△MAB≌△MCG， ∴MB＝MG， 又∵MD⊥BC， ∴BD＝DG， ∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA． 【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝　 　； 【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明． 【实践应用】如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，则AD＝　 　． 5．（2021•深圳四模）先阅读命题及证明思路，再解答下列问题． 命题：如图1，在正方形ABCD中，已知：∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD相交于点E、F，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 证明思路： 如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE′．∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴AB与AD重合．∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDE′＝180°，点F、D、E′是一条直线． 根据SAS，得证△AEF≌△AE′F，得EF＝E′F＝E′D+DF＝BE+DF． （1）特例应用 如图1，命题中，如果BE＝2，DF＝3，求正方形ABCD的边长． （2）类比变式 如图3，在正方形ABCD中，已知∠EAF＝45°，角的两边AE、AF分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，连接EF．写出EF、BE、DF之间的关系式，并证明你的结论． （3）拓展深入 如图4，在⊙O中，AB、AD是⊙O的弦，且AB＝AD，M、N是⊙O上的两点，∠MAN＝∠BAD． ①如图5，连接MB、MD，MD与AN交于点H，求证：MH＝BM+DH，DM⊥AN； ②若点C在（点C不与点A、D、N、M重合）上，连接CB、CD分别交线段AM、AN或其延长线于点E、F，直接写出EF、BE、DF之间的等式关系． 一．填空题（共1小题） 1．已知M是弧CAB的中点，MP垂直于弦AB于P，若弦AC的长度为x，线段AP的长度是x+1，那么线段PB的长度是 　 　．（用含有x的代数式表示）