重难点04“垂径定理”模型-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

重难点04“垂径定理”模型 1.识别几何模型。 2.利用“垂径定理”模型解决问题 垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理中的五个元素: 1. 过圆心;2垂直弦3平分弦(不是直径);4平分优;平分劣弧 这五个元素，知二推三 一．选择题（共3小题） 1．（2022秋•南京期中）如图，C是的中点，弦AB＝8，CD⊥AB，且CD＝2，则所在圆的半径为（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 2．（2022秋•南通期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长是（　　） A．2 B．1 C． D． 3．（2022秋•盱眙县期中）把半径长为2.5的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知CD＝4，则EF＝（　　） A．2 B．2.5 C．4 D．5 二．填空题（共6小题） 4．（2022秋•邗江区校级期末）《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，凯凯在读完《九章算术》卷九勾股定理篇记载的“圆材埋壁”问题后，突发灵感，设计了一个数学题如图，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，ED＝4，AB＝16，则直径CD的长是 　 　． 5．（2023春•大丰区月考）如图，⊙O的弦AB＝8，过点O作OP⊥AB于点C，交⊙O于点P，若OC：CP＝3：2，则⊙O的半径为 　 　． 6．（2022秋•江都区月考）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点D出发逆时针运动到点C时，点F所经过的路径长为 　 　． 7．（2023•常州模拟）对于⊙P及一个矩形给出如下定义：如果⊙P上存在到此矩形四个顶点距离都相等的点，那么称⊙P是该矩形的“等距圆”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A的坐标为（4，6），顶点C、D在x轴上，且OC＝OD．若矩形ABCD的“等距圆”⊙P始终在矩形内部（含边界），则⊙P的半径r的取值范围是 　 　． 8．（2022秋•秦淮区期末）如图，在以O为圆心半径不同的两个圆中，大圆和小圆的半径分别为6和4，大圆的弦AB交小圆于点C，D．若AC＝3，则CD的长为 　 　． 9．（2022秋•邗江区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC、BD交于点P，∠BAC+∠ACD＝∠CAD+∠ACB，⊙O的半径为1，当5≤AC2+BD2≤6时，则OP的取值范围 　 　． 三．解答题（共8小题） 10．（2022秋•仪征市校级月考）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E点，若AB＝10，DE＝2，求CD的长． 11．（2022秋•江阴市校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积． 12．（2022秋•大丰区期中）如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点C、D． （1）若∠AOD＝50°，求∠DOB的度数； （2）若AB＝2，ED＝1，求⊙O的半径长； 13．（2022秋•梁溪区校级期中）关于x的方程ax2+cx+b＝0，如果a、b、c满足a2+b2＝c2且c≠0，那么我们把这样的方程称为“顾神方程”．请解决下列问题： （1）请写出一个“顾神方程”：　 　； （2）求证：关于x的“顾神方程”ax2+cx+b＝0必有实数根； （3）如图，已知AB、CD是半径为6的⊙O的两条平行弦，AB＝2a，CD＝2b，且关于x的方程ax2+6x+b＝0是“顾神方程”，请直接写出∠BAC的度数． 14．（2022秋•启东市校级月考）如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC＝2cm，求⊙O的半径． 15．（2021秋•海门市期末）已知：如图，AM为⊙O的切线，A为切点，过⊙O上一点B作BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB． （1）求∠AOB的度数； （2）若⊙O的半径为2cm，求∠ODB的正切值． 16．（2022秋•盐都区期中）请仅用无刻度的直尺作图． （1）如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，点P在⊙O上一点，且＝．画出△ABC中∠BAC的平分线； （2）如图2，△ABC是⊙O的内接三角形，D是BC的中点．画出△ABC中∠BAC的平分线； （3）如图3，⊙O为△ABC的外接圆，BC是非直径的弦，D是BC的中点，E是弦AB上一点，且DE∥AC，请画出△ABC的内心I． 17