第17讲 二次函数y=ax²+bx+c的图像-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（沪教版，上海专用）

第17讲 二次函数y = ax 2+ bx + c的图像 二次函数的图像的研究，需要利用配方法的方式对进行变形，从而利用的图像特征研究的图像特征，继而掌握a、b、c与二次函数图像的对称轴和顶点的联系． 模块一：二次函数y = a(x + m)2 + k的图像 1、二次函数的图像 二次函数（其中a、m、k是常数，且）的图像即抛物线，可以通过将抛物线进行两次平移得到． 这两次平移可以是：先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位． 利用图形平移的性质，可知：抛物线（其中a、m、k是常数，且）的对称轴是经过点（，0）且平行于y轴的直线，即直线x =；抛物线的顶点坐标是（，k）．抛物线的开口方向由a所取值的符号决定，当时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，开口向下，顶点是抛物线的最高点． 【例1】 在平面直角坐标系中xOy中画出二次函数的图像． ( y O x ) 【例2】 一个运动员打高尔夫球，若球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数 表达式为，则高尔夫球在飞行过程中的最大高度为（ ） A．10米 B．20米 C．30米 D．60米 【例3】 已知二次函数的图像上有A（，y1）、B（2，y2）、 C（， y3）三个点，则y1、y2、y3的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【例4】 与抛物线形状相同，顶点为（3，）的抛物线解析式为_____________． 模块二：二次函数y = ax 2+ bx + c的图像 1、 二次函数的图像 二次函数的图像称为抛物线，这个函数的解析式就是这条抛物线的表达式． 任意一个二次函数（其中a、b、c是常数，且）都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式． 对配方得：． 由此可知：抛物线（其中a、b、c是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是（，）． 当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是下降的，在对称轴右侧的部分是上升的； 当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴（即直线）左侧的部分是上升的，在对称轴右侧的部分是下降的． 【例5】 用配方法把下列函数解析式化为的形式． （1）； （2）． 【例6】 通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． ( y O x ) 【例7】 化成的形式为（ ） A． B． C． D． 【例8】 在同一直角坐标系中，函数和（m是常数，且） 的图像可能是（ ） ( A ． B ． C ． D ． x y x y x y x y ) 【例9】 已知一次函数与二次函数的图像都过点A（1，）， 二次函数的对称轴是直线x =，请求出一次函数和二次函数的解析式． 【例10】 已知抛物线经过点P（，）． （1）求b + c的值； （2）若b = 3，求这条抛物线的顶点坐标； （3）若，过点P作直线PAy轴，交y轴与点A，交抛物线于另一点B， 且BP = 2PA，求这条抛物线所对应的解析式． 一、单选题 1. （2023·上海虹口·统考一模）已知二次函数的图像如图所示，那么下列四个结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2. （2023·上海宝山·一模）将抛物线向右平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为（　　） A． B． C． D． 3. （2023·上海徐汇·统考一模）二次函数的图像如图所示，点在轴的正半轴上，且，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 4. （2023·上海崇明·统考一模）将函数的图像向右平移2个单位，下列结论中正确的是（    ） A．开口方向不变 B．顶点不变 C．对称轴不变 D．与轴的交点不变 5. （2023·上海徐汇·统考一模）将抛物线经过下列平移能得到抛物线的是（    ） A．向右个单位，向下个单位 B．向左个单位，向下个单位 C．向右个单位，向上个单位 D．向左个单位，向上个单位 6. （2023·上海闵行·统考二模）在平面直角坐标系中，如果把抛物线向下平移3个单位得到一条新抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是（   ） A．开口方向相同； B．对称轴相同； C．顶点的横坐标相同； D．顶点的纵坐标相同． 7. （2023·上海长宁·统考二模）已知抛物线经过点，那么的值是（  ） A． B． C． D． 8. （2023·上海·一模）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练．第一次训练时，该运动员的水平距