2.9 有理数的乘方-【教材解读】2023秋七年级上册初一数学（北师大版)

数学　七年级　上册 ９２　 0  0 ９　有理数的乘方 M > M 􀅰理解有理数乘方的意义,培养观察、分析、概括的能力． 􀅰能进行有理数的乘方运算,并能利用有理数的乘方运算解决简单的实际问题． 􀅰经历有理数乘方的概念的推导过程,体验乘方与乘法的联系． +U .D0U +4U "+4  U5E),  (１)对于具体的数,乘方 的结果可以写成幂的形式,也 可 以 写 成 数 的 形 式,如 ２× ２×２＝２３＝８．对于字母,乘方 的结果只能写成幂的形式,如 a×a＝a２． (２)当底数是负数或分数 时,一定要添上括号,以体现 底数是负数或分数的整体性． 知识点一　乘方的意义 １．乘方的有关概念及其读法 有关 概念 一般 地,n 个 相 同 的 因 数a 相 乘,记 作 an,即 a×a×􀆺×a 􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 n个a ＝an．这种求n 个相同因数a 的积的 运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂,a 叫做底数,n 叫做指数 读法 an 读作“a 的n 次幂”或“a 的n 次方” 特例 说明 一个数可以看成这个数本身的一次方,如a 就是 a１,只是指数１通常省略不写;a２ 可以读作“a 的平 方”,a３ 可以读作“a 的立方” ２．知识图解 【例１】用幂的形式表示下列各式,并指出底数和指数． (１)(－３)×(－３)×(－３); (２) ２ ５× ２ ５× ２ ５× ２ ５． 解 (１)(－３)×(－３)×(－３)＝(－３)３,底数为－３, 指数为３． 第二章　有理数及其运算 ９３　 0  0 (２) ２ ５× ２ ５× ２ ５× ２ ５＝ ( ２ ５) ４,底数为２ ５ ,指数为４． 有理数乘方的写法的注意事项 (１)底数与指数要分清:相同的因数是底数,相同 因数的个数是指数,二者不可混淆． (２)底数是否需加括号:当底数是自然数或正小 数时,底数不需要加括号;当底数是负数或分数时,要 用括号把底数括起来． 知识点二　有理数的乘方运算 １．符号法则 底数 法则 示例 正数 正数的任何次幂都是正数 ３４＝８１ ０ 零的任何正整数次幂都是零 ０３＝０,０２０２２＝０ 负数 负数的偶次幂是正数 (－２)４＝１６ 负数的奇次幂是负数 (－２)５＝－３２ ２．性质 语言描述 字母表示 有理数a 的偶次幂是非负数 a２n≥０(n 为正整数) 非０有理数a 的偶次幂是正 数 a２n＞０(a≠０,n 为正整数) 互为相反数的两个数的偶次 幂相等 (－a)２n＝a２n(n 为正整数) 互为相反数的两个数的奇次 幂互为相反数 (－a)２n－１＝－a２n－１ (n 为正整数) 【例２】说出下列乘方所表示的意义,并计算出结果． (１)(－４)２;　(２)２．５３;　(３)－５４;　(４)( － ３ ２) ５ ． 乘方运算口诀 乘方运算先看底, 指数管底没问题; 管谁给谁添括号, 否则只能管脚底．   > M (１)１的任何次幂都是１, 即１n＝１(n 为正整数); (２)－１的偶次幂是１,即 (－１)２n＝１(n 为正整数); (３)－１的奇次幂是－１, 即(－１)２n－１ ＝－１(n 为 正 整 数)． 数学　七年级　上册 ９４　 0  0 －an 与 (－a)n 是 不 同 的,b n a 与 ( b a ) n 也是不同的． ; U3/ B  U B C U 负数的奇次幂是负数,负 数的偶次幂是正数． 解 (１)(－４)２ 表示２个－４相乘,(－４)２＝(－４)× (－４)＝１６; (２)２．５３ 表示３个２．５相乘,２．５３＝２．５×２．５×２．５＝ １５．６２５; (３)－５４ 表示４个５相乘的相反数,－５４＝－５×５× ５×５＝－６２５; (４)( － ３ ２ ) ５ 表示５个－ ３ ２ 相乘,( － ３ ２ ) ５ ＝ ( － ３ ２ ) × ( － ３ ２) × ( － ３ ２) × ( － ３ ２) × ( － ３ ２) ＝－ ２４３ ３２． 乘方运算的步骤 第１步:判断底数和指数,以此确定幂的符号． (１)底数是正数→幂的符号是正号; (２)底数是负数 指数是偶数→幂的符号是正号; 指数是奇数→幂的符号是负号．{ 第２步:计算底数的绝对值的幂,即计算多个因 数绝对值的积． 常考题型解读 １．已知(a－３)４＋|b＋２|＝０, 求ba的值． 题型一　偶次方的非负性 【例１】已知(２a－１)２＋|b＋１|＝０,求 ( １ a ) ２ ＋ ( １ b ) ２０２１ 的值． 思路分析 若 几 个 非 负 数 的 和 为 ０,则 每 个 非 负 数 都 为０,由此进行解答． 解 因为(２a－１)２＋|b＋１|＝０, 所以(２a－１)２＝０,|b＋１|