第03讲 概率的综合运用（五大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

第03讲 概率的综合运用 【题型归纳目录】 题型一：古典概型 题型二：概率的基本性质 题型三：事件的独立性 题型四：随机模拟 题型五：概率的综合运用 【知识点梳理】 知识点1、古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率 P(A)＝＝. 其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数． 知识点2、概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么 P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)． 性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 知识点3、事件A与B相互独立 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． （1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立. （2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B). 【典例例题】 题型一：古典概型 例1．（2023·高一课时练习）某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元（不足1小时按1小时计算）.现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时. (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为，停车费多于14元的概率为，求甲的停车费为6元的概率； (2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车费之和为28元的概率. 例2．（2023·江苏·高一专题练习）清明期间，某校为缅怀革命先烈，要求学生通过前往革命烈士纪念馆或者线上网络的方式参与“清明祭英烈”活动，学生只能选择一种方式参加.已知该中学初一、初二、初三3个年级的学生人数之比为，为了解学生参与“清明祭英烈”活动的方式，现采用分层抽样的方法进行调查，得到如下数据. 年级人数方式 初一年级 初二年级 初三年级 前往革命烈士纪念馆 2a-1 8 10 线上网络 a b 2 (1)求，的值； (2)从该校各年级被调查且选择线上网络方式参与“清明祭英烈”活动的学生人任选两人，求这两人是同一个年级的概率. 例3．（2023·江苏·高一专题练习）某区为了全面提升高中体育特长生的身体素质，开设“田径队”和“足球队”专业训练，在学年末体育素质达标测试时，从这两支队伍中各随机抽取100人进行专项体能测试，得到如下频率分布直方图： (1)估计两组测试的平均成绩， (2)若测试成绩在90分以上的为优秀，从两组测试成绩优秀的学生中按分层抽样的方法选出7人参加学校代表队，再从这人中选出2人做正，副队长，求正、副队长都来自“田径队”的概率． 正、副队长都来自“田径队”包含的基本事件有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6个， 故正、副队长都来自“田径队”的概率为． 例4．（2023·江苏·高一专题练习）随着新课程标准的实施，新高考改革的推进，越来越多的普通高中学校认识到了生涯规划教育对学生发展的重要性，生涯规划知识大赛可以鼓励学生树立正确的学习观、生活观.某校高一年级1000名学生参加生涯规划知识大赛初赛，所有学生的成绩均在区间内，学校将初赛成绩分成5组：加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. (1)试估计这1000名学生初赛成绩的平均数（同一组的数据以该组区间的中间值作代表）； (2)为了帮学生制定合理的生涯规划学习计划，学校从成绩不足70分的两组学生中用分层抽样的方法随机抽取6人，然后再从抽取的6人中任意选取2人进行个别辅导，求选取的2人中恰有1人成绩在内的概率. 例5．（2023·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则