2023-2024学年九年级上册数学【第一章 反比例函数】核心知识点与经典题型演练（湘教版）

九 年 级 数 学 绝 密 资 料 （上册） 【湘教版】 第1章 反比例函数 课堂导入： 小学与初中关于成正比和成反比的描述对比： 商一定，成正比 正比例函数 积一定，成反比 反比例函数 （负指数=倒数） 反比例函数的表达式：①②③ ① 如果某个类似这种反比例函数表达式，x必须放分母（分母是单项式，分母不能出现x+1这样的多项式），比例系数k≠0，分式后面也不能有+1或-2这样的常数出现。 （出题在大题第一问求函数表达式） 这样的式子不是反比例函数，需要加k≠0的前提 一设二代三解四返 是反比例函数，满足x放分母，且比例系数≠0 求经过点（2，-3）的反比例函数表达式？ 解：设该反比例函数表达式为 把点（2，-3）代入得： ∴k=-6 ∴该反比例函数表达式为 ② （出题在选择题和填空题） 若点（2，-3）和（1，－m）在同一个反比例函数图像上，求m的值？ 解：在同一个反比例函数的图像上的点，比例系数是相同的，比例系数都等于该点的横、纵坐标之积。 ∴k=2x（-3）=1x（－m） ∴m=6 ③ 如果某个类似这种反比例函数表达式，x的指数必须等于-1， 并且x的系数不等于0. 若函数是反比例函数，求m的值？ 解：由题意可得： ∴ ∴m=－1. 其中放在分母的自变量的取值范围为所有非零实数，但在实际问题中很多情况都是自变量的取值范围为＞0. 其中比例系数k就是右边除了以外的部分。如 的比例系数为； 的比例系数为k-1. 函数图像与性质： （任何一个函数图像都是由除了x、y以外的字母决定的，所以反比例函数的图像由字母k决定） ∵k≠0 ∴在实数范围内k＞0或k＜0. 画图三步骤：一、列表 二、描点 三、连线 ① k＞0 经过第一、三象限 在每个象限/每个分支/x＞0或x＜0上y随x的增大的减小（1,4） 是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为直线y=±x， 其中y=x是第一、三象限的角平分线，y=－x是第二、四象限的角平分线 也是中心对称图形，对称中心为原点。 经典总结：经过原点的正比例函数与反比例函数的两个交点，必定关于原点中心对称。 （就如图红色的正比例函数图像与反比例函数的两个交点也必然关于原点中心对称，一个坐标为（1，4），那么另一个交点坐标一定是（-1，-4）） ② k＜0 经过第二、四象限 在每个象限/每个分支/x＞0或x＜0上y随x的增大的增大（－1,4） 是轴对称图形，有两条对称轴，对称轴为直线y=±x， 其中y=x是第一、三象限的角平分线，y=－x是第二、四象限的角平分线 也是中心对称图形，对称中心为原点。 经典总结：经过原点的正比例函数与反比例函数的两个交点，必定关于原点中心对称。 （就如图红色的正比例函数图像与反比例函数的两个交点也必然关于原点中心对称，一个坐标为（－1，4），那么另一个交点坐标一定是（1，-4）） k的几何意义： （） 反比例函数图像上任意一点，分别做x、y轴的垂线，与坐标轴组成 的封闭矩形的面积等于k的绝对值。将原点和反比例函数图像上的这点连起来，把原矩形平均分成了两个完全一样的直角三角形，每个直角三角形的面积等于二分之k的绝对值。 如图点P（）在反比例函数的图像上， 则必有=k， 其中矩形OAPB的面积= OA·AP = = （面积不能为负数） 即 ∴ 求反比例函数的k值的方法：①求出反比例函数图象上具体某个点的坐标，横、纵坐标之积就是k值。 ②根据k的几何意义，要么知道矩形的面积，要么知道直角三角形的面积求k的绝对值，再看象限