第01讲 空间向量及其线性运算-【暑假预科讲义】2023年高一升高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 空间向量及其线性运算 【人教A版2019】 ·模块一 空间向量的概念 ·模块二 空间向量的线性运算 ·模块三 共线向量与共面向量 ·模块四 课后作业 模块一 空间向量的概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】(1)空间中点的一个平移就是一个向量； (2)数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量. 【考点1 空间向量概念的理解】 【例1.1】（2023春·高二课时练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．空间向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【例1.2】（2023春·高二课时练习）给出下列命题： ①将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足，则； ③在正方体中，必有 ； ④若空间向量 满足，，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1.1】（2023春·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【变式1.2】（2023·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 模块二 空间向量的线性运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【注】(1)空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则，而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并. (2)向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则. (3)空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量. 【考点1 空间向量的加减运算】 【例1.1】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023春·安徽亳州·高二统考开学考试）在长方体中，为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023秋·江西吉安·高二校考期末）已知在长方体中，，则（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式1.2】（2023春·高二课时练习）在空间四边形中下列表达式化简结果与相等的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 空间向量的线性运算】 【例2.1】（2023·全国·高三对口高考）（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023秋·北京·高二校考期末）如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）如图，在三棱柱中，E、F分别是BC、的中点，为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023秋·广东广州·高二校考期末）如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为O，点M在上，且，则下列向量中与相等的向量是（