重难点02“四点共圆”模型-【暑假自学课】2023年新九年级数学暑假精品课（苏科版）

重难点02“四点共圆”模型 1.识别几何模型。 2.利用“四点共圆”模型解决问题 一．填空题（共3小题） 1．（2021秋•南京期中）如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠C＝100°，BC＝CD，则∠A+∠D＝　 　°． 2．（2022•靖江市二模）如图，AB⊥BC，AB＝5，点E、F分别是线段AB、射线BC上的动点，以EF为斜边向上作等腰Rt△DEF，∠D＝90°，连接AD，则AD的最小值为 　 　． 3．（2022秋•大丰区期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，∠B＝45°，∠C＝30°．以AD为弦的圆分别交AB、AC于E、F两点．点G在AC边上，且满足∠EDG＝120°．若CD＝4+2，则△DEG的面积的最小值是 　 　． 二．解答题（共7小题） 4．（2022秋•宿城区期中）如图，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆． （1）点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． （2）若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长． 5．（兴化市校级期中）已知：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD的中点． （1）线段AF与BE有何关系．说明理由； （2）延长AF、BC交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上．说明理由． 6．（2022秋•建湖县期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角． （1）若∠DAE＝75°，则∠DAC＝　 　°； （2）过点D作DE⊥AB于E，判断AB、AE、AC之间的数量关系并证明； （3）若AB＝6、AE＝2，求BD2﹣AD2的值． 7．（2023•淮安区一模）综合与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1） ∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180° ∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2） ∴点A，B，C，D四点在同一个圆上 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：　 　；依据2：　 　． （2）如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 　 　． 拓展探究： （3）如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE． ①求证：A，D，B，E四点共圆； ②若AB＝2，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 8．（2022秋•靖江市期末）小明在学习了《圆周角定理及其推论》后，有这样的学习体会：在Rt△ABC中，∠C＝90°，当AB长度不变时，则点C在以AB为直径的圆上运动（不与A、B重合）． [探索发现] 小明继续探究，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB长度不变．作∠A与∠B的角平分线交于点F，小明计算后发现∠AFB的度数为定值，小明猜想点F也在一个圆上运动．请你计算∠AFB的度数，并简要说明小明猜想的圆的特征． [拓展应用] 在[探索发现]的条件下，若AB＝2，求出△AFB面积的最大值． [灵活运用] 在等边△ABC中，AB＝2，点D、点E分别在BC和AC边上，且BD＝CE，连接AD、BE交于点F，试求出△ABF周长的最大值． 9．（2022秋•鼓楼区期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ Ⅰ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图1、2）； Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图3）； Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端，点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）． （1）在图1、2中，取AC的中点O，根据 　 　得OA＝OB＝OC＝OD，即A，B，C，D共圆； （2）在图3中，画⊙O经过点A，B，D（图5）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得 　 　＝180°，所以∠BED＝　 　，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C