1.4.1 充分条件与必要条件-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

1.4.1　充分条件与必要条件 第一章　§1.4　充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题. 导语 不知道大家有没有这样的经历，在初中的某次考试没有考好，父母就着急了，说：“初中不好好学习就考不上高中，考不上高中就考不上大学，考不上大学就找不到工作，找不到工作就实现不了自己的人生价值……那么，你这一辈子就完了！”大家同意这么糟糕的说法吗？静下心来想想，一次没有考好，跟后面这些事情有关系吗？把几乎没有关系的两件事情理解成了充分条件，让你们的父母徒增烦恼，当然你们也有了不小的压力，所以，大家要好好学习这节课，这样你就能解决你父母的烦恼了！ 一、充分条件与必要条件 二、充分条件与必要条件的应用 课时对点练 随堂演练 内容索引 4 充分条件与必要条件 一 问题　观察下面几个命题，你能把它们变成“若p，则q”的形式吗？你能得到什么？ (1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 提示　若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形. (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 提示　若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形. (3)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形； 提示　若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形. (4)平行四边形的两组对边分别相等； 提示　若四边形是平行四边形，则四边形的两组对边分别相等. (5)平行四边形的一组对边平行且相等； 提示　若四边形是平行四边形，则四边形的一组对边平行且相等. (6)平行四边形的两条对角线互相平分. 提示　若四边形是平行四边形，则四边形的两条对角线互相平分. 由此可见，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件，即使结论成立的条件并不唯一.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，即所获得的结论也不唯一. 知识梳理 充分条件与必要条件   “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p q p⇏q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 ⇒ 充分 必要 充分 必要 (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件. (3)“p是q的充分条件”，“q是p的必要条件”，“q的一个充分条件是p”，“p的一个必要条件是q”，说的是同一个意思. 注意点： 　　 (1)指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ ①在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； 例1 在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. ②已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； 由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件. ③已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件. (2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. ②p：A⊆B，q：A∩B＝A； 因为p⇒q， 所以q是p的必要条件. ③p：a>b，q：ac>bc. 因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件. 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件. 反思感悟 跟踪训练1 　　　分析下列各项中p与q的关系. (1)p：α为锐角，q：α＝45°. 由于q⇒p，p⇏q，故p是q的必要条件，q是p的充分条件. (2)p：(x＋1)(x－2)＝0，q：x＋1＝0. 由于q⇒p，p⇏q，故p是q的必要条件，q是p的充分条件. 充分条件与必要条件的应用 二 　　已知集合P＝{x|－2＜x＜4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}.若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围. 例2 由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集. 当3m－2＞5m＋2，即m＜－2时，Q＝∅，满足题意， 当3m－2≤5m＋2，即m≥－2时， 延伸探究　已知集合P＝{x|－2＜x