1.4.2 充要条件-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

1.4.2　充要条件 第一章　§1.4　充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充要条件的意义. 2.会判断一些简单的充要条件问题. 3.能对充要条件进行证明. 导语 同学们，上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！ 课时对点练 一、充要条件 二、充要条件的证明 三、充分不必要、必要不充分、充要条件的应用 随堂演练 内容索引 4 充要条件 一 问题1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集. 提示　不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题； 命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题； 命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题. 问题2　你能通过判断原命题和逆命题的真假来判断p，q的关系吗？ 提示　首先原命题和逆命题都是成对出现的，不能说单独的一个命题是逆命题. 判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件. 知识梳理 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有 ，又有 ，就记作 ，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为 条件. p⇒q q⇒p p⇔q 充要 充要条件的判断方法：①确定哪个是条件，哪个是结论；②尝试用条件推结论；③再尝试用结论推条件；④最后判断条件是结论的什么条件. 注意点： 　　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). ∴p是q的充分不必要条件. 例1 (2)p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； ∵－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， ∴p是q的充要条件. (3)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； 由q：(x＋2)2≠y2， 得x＋2≠y且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件. (4)p：a是自然数；q：a是正数. 判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假. (2)集合法：即利用集合的包含关系判断. (3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. (4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒ pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 反思感悟 　指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； 跟踪训练1 充要条件； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； 必要不充分条件； (3)p：A∩B＝∅，q：A与B之一为空集； (4)p：a能被6整除，q：a能被3整除； 必要不充分条件； 充分不必要条件. 充要条件的证明 二 　　求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 例2 必要性：由于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正实根和一负实根， ∴ac<0. ∴方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一正一负两实根. 综上，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是常数且a≠0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac<0. 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性. (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件. 反思感悟 跟踪训练2 　　　 求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b＝0. ①充分性：如果b＝0，那么y＝kx， 当x＝0时，y＝0，函数图象过原点. ②必要性：因为y＝kx＋b(k