5.7 第2课时 三角函数的应用(二)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　三角函数的应用(二) 第五章　§5.7 三角函数的应用 学习目标 1.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题. 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 课时对点练 一、三角函数图象类问题 二、三角函数在生活中的应用 三、三角函数在几何中的应用 随堂演练 内容索引 3 三角函数图象类问题 一 例1 如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的 的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是 √ 设 所对的圆心角为α，则α＝l， 反思感悟 解决函数图象与实际问题对应问题的策略：一般方法是根据已知所反映出来的性质解决，充分利用图象中的几何关系.此外特殊点也可以作为判断的好方法. 跟踪训练1 √ 三角函数在生活中的应用 二 例2 t∈[0,24]， 所以f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 依题意，得当f(t)>11时实验室需要降温. 故在10时至18时实验室需要降温. 反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练2 健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～ 90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值.记某人的血压满足函数式p(t)＝25sin 160πt＋115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； 即此人每分钟心跳的次数为80. (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较. p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg)， 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内. 三角函数在几何中的应用 三 例3 甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S乙，试问r和R满足什么关系时，S甲＝S乙？说明理由. 如图所示，甲图中，O是半圆圆心，设∠COD＝θ， 则CD＝rsin θ，OC＝rcos θ， S矩形ABCD＝2OC·CD＝2rcos θ·rsin θ＝r2sin 2θ， 乙图中，设∠EGF＝α，则EF＝2Rsin α，则FG＝2Rcos α， S矩形EFGH＝EF·FG＝2Rcos α·2Rsin α＝2R2sin 2α， 反思感悟 利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去. 跟踪训练3 如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为___________. 则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α， 周长C＝6－2(sin α＋cos α)， 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α， 所以要让周长最小，即让sin α＋cos α最大， 即sin 2α最大， 课堂 小结 1.知识清单： (1)三角函数在生活中的应用. (2)三角函数在几何中的应用. 2.方法归纳：数学建模、数形结合. 3.常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问题. 随堂演练 √ 1 2 3 4 1.函数y＝x＋sin |x|，x∈[－π，π]的大致图象是 A.5 B.6 C.8 D.10 1 2 3 4 √ 根据图象得函数的最小值为2， 有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8. √ 1 2 3 4 27 1 2 3 4 由题意知当t＝14时，f(t)＝7. 28 1 2 3 4 4.某星星的亮度变化周期为10天，此星星的平均亮度为3.8星等，最高亮度距离平均亮度0.2星等，则可近似地描述此星星的亮度与时间之间关系 的一个三角函数为_____________________. 设所求函数为y＝Asin(ωt＋φ)＋b， 课时对点练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9