5.7 第1课时 三角函数的应用(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　三角函数的应用(一) 第五章　§5.7 三角函数的应用 学习目标 1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象. 2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题. 导语 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题. 课时对点练 一、简谐运动 二、三角函数“拟合”模型的应用 三、三角函数在物理中的应用 随堂演练 内容索引 4 简谐运动 一 问题1　现实生活中存在大量周而复始、循环往复特点的周期运动的变化现象，你能举出哪些例子？ 提示　弹簧振子的运动，钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，日出日落，潮涨潮落，一天温度的变化，一天人员流动的变化等等.很显然，三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好的“拟合”这种周期性的变化. 问题2　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式. t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0 提示　振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画. 根据已知数据作出散点图，如图所示. 知识梳理 1.在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. 2.A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 注意点： 例1 3πx－π 所以相位ωx＋φ＝3πx－π. 反思感悟 若y＝Asin(ωx＋φ)是一个简谐运动的解析式，则A>0，ω>0，若A，ω不满足条件，则利用诱导公式变形，使之满足，再根据概念求值. 弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的 A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s C.周期为6 s D.频率为6 Hz 跟踪训练1 √ 三角函数“拟合”模型的应用 二 例2 下表所示的是某地2000～2021年的月平均气温(华氏度). 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系. (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据； 根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示. (2)这个函数的周期是多少？ 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 (3)估计这个正弦曲线的振幅A； 2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6， ∴A＝25.8. 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 ∵x＝月份－1，∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0， ∴②不适合，同理④不适合，∴③最适合. 反思感悟 处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图. (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式. (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据. 跟踪训练2 下表中给出了在24小时期间人的体温的变化(从夜间零点开始计时)： 时间(时) 0 2 4 6 8 10 12 温度(℃) 36.8 36.7 36.6 36.7