5.5.2 第2课时 简单的三角恒等变换(二)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　简单的三角恒等变换(二) 第五章　5.5.2　简单的三角恒等变换 学习目标 1.能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并. 2.能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题. 导语 同学们，我们从开始学习两角差的余弦，就尝试对展开式进行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sin x＋cos x等，其实从那个时候起，就开始有了辅助角公式的影子，大家知道吗？辅助角公式是由我国数学家李善兰先生提出的，辅助角公式的提出，对整个三角函数产生了巨大的影响，今天，我们就和李善兰先生，一起来探究辅助角公式的意义吧. 课时对点练 一、三角恒等变换与三角函数 二、三角恒等变换在几何中的应用 三、三角恒等变换在实际问题中的应用 随堂演练 内容索引 4 三角恒等变换与三角函数 一 问题2　一般地，对于y＝asin x＋bcos x，你能对它进行合并吗？ 第三步：化简、逆用公式得asin x＋bcos x 知识梳理 辅助角公式 注意点： 例1 (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合. 反思感悟 跟踪训练1 三角恒等变换在几何中的应用 二 例2 (教材227页例10改编)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图). 如图，连接OC， 设∠COB＝θ， 则0°<θ<45°，OC＝1. 因为AB＝OB－OA＝cos θ－AD＝cos θ－sin θ， 所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ 三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角变换来解决，体现了数学中的化归思想. 反思感悟 跟踪训练2 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最长？ 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l， 则AB＝Rsin α，OB＝Rcos α， 所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsin α＋Rcos α 三角恒等变换在实际问题中的应用 三 例3 如图，OA，OB是两条互相垂直的笔直公路，半径OA＝2 km的扇形AOB是某地的一名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口P(点P不与A，B重合)，并新建两条都与圆弧AB相切的笔直公路MB，MN，切点分别是B，P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低.设∠POA＝θ，公路MB，MN的总长为f(θ).求f(θ)关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域. 连接OM(图略)，在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝θ，故NP＝2tan θ. 根据平面几何知识可知，MB＝MP， 反思感悟 实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用建立三角函数模型解决实际的优化问题. 跟踪训练3 在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 直角三角形中较小的锐角为θ，则cos 2θ＝ ________. 又(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2， 课堂 小结 1.知识清单： (1)辅助角公式. (2)三角恒等变换的综合问题. (3)三角函数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：易忽视实际问题中的定义域. 随堂演练 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2.若函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，则 A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的最大值为2 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 36 1 2 3 4 37 1 2 3 4 7 课时对点练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3 √ 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴2≤m≤6. 3 6.(多选)已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，则下列说法正确的是 A.f(x)的最大值为2 B.f(x)的最小正周期为π, √ 1 2 4 5