5.5.2 第1课时 简单的三角恒等变换(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　简单的三角恒等变换(一) 第五章　5.5.2　简单的三角恒等变换 学习目标 1.通过二倍角公式的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式. 2.了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题. 3.掌握两角和、差的正、余弦公式，通过积化和差、和差化积进行简单的化简、求值、证明. 导语 同学们，前面我们学习了三角函数中的很多公式，有同角的三角函数的基本关系、诱导公式、两角和、差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切，它们都属于三角变换.对于三角变换，我们不仅要考虑三角函数式结构形式方面的差异，还要考虑三角函数式包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换，在实际操作中，我们要从函数式的结构、种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，从而选择一个合适的公式进行化简、求值、证明等，这就是我们今天要讲的三角恒等变换. 课时对点练 一、半角公式 二、和差化积、积化和差 三、三角函数式的化简、证明 随堂演练 内容索引 4 半角公式 一 问题1　余弦的二倍角展开有几种形式？请写出. 提示　三种形式：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 知识梳理 注意点： 例1 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解. (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. 反思感悟 反思感悟 跟踪训练1 和差化积、积化和差 二 问题2　请写出两角和、差的正弦、余弦公式. 提示　sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. 1.积化和差 sin αcos β＝_______________________； cos αsin β＝_______________________； cos αcos β＝________________________； sin αsin β＝__________________________. 知识梳理 2.和差化积 sin θ＋sin φ＝________________； sin θ－sin φ＝__________________； cos θ＋cos φ＝__________________； cos θ－cos φ＝___________________. 例2 求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值. 方法一　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50° 方法二　sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50° 方法三　令A＝sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°， B＝cos220°＋sin250°＋cos 20°sin 50°. 则A＋B＝2＋sin 70°， A－B＝－cos 40°＋cos 100°＋sin(－30°) 积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为θ，φ的三角函数式.或者把sin αcos β看作x，cos αsin β看作y，把等式看作x，y的方程，则原问题转化为解方程(组)求x，它们都体现了化归思想. 反思感悟 跟踪训练2 求下列各式的值： 三角函数式的化简、证明 三 例3 所以原式成立. 反思感悟 三角恒等式证明的常用方法 (1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简. (2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子. (3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同. (4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”. (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立. 跟踪训练3 ＝2|sin 4＋cos 4|＋2|cos 4|. ∴sin 4<0，cos 4<0，sin 4＋cos 4<0， ∴原式＝－2(sin 4＋cos 4)－2cos 4＝－2sin 4－4cos 4. 课堂 小结 1.知识清单： (1)半角公式. (2)积化和差、和差化积. (3)三角函数式的化简、证明. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：半角公式符号的判断. 随堂演练 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 34 1 2 3 4 课时对点练 √