5.5.1 第3课时 两角和与差的正切公式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第3课时　两角和与差的正切公式 第五章　5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 学习目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用. 导语 同学们，上节课我们实现了两角和与差的正弦、余弦的展开与合并，今天我们将继续“变脸”，共同探究两角和与差的正切是否也能实现“变脸”. 课时对点练 一、两角和与差的正切公式 二、给值求值(角) 三、两角和与差的正切公式的综合应用 随堂演练 内容索引 4 两角和与差的正切公式 一 问题1　请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式. 提示　cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β， cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 问题2　同角三角函数中的商数关系是什么？ 问题3　你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β). 知识梳理 注意点： 例1 √ tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75° √ 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. 反思感悟 (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 反思感悟 跟踪训练1 化简求值： 给值求值(角) 二 问题4　根据两角和与差的正切公式的特点以及上述练习，你能写出几种公式的变形形式吗？ 提示　T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)； T(α－β)的变形： tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)； 例2 √ 延伸探究　若本例条件不变，求tan(α＋β)的值. (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 反思感悟 求：(1)tan(α＋β)的值； 跟踪训练2 (2)α＋2β的大小. ∵α，β为锐角， 两角和与差的正切公式的综合应用 三 例3 设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为 A.－3 B.－1 C.1 D.3 √ 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， 反思感悟 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 跟踪训练3 √ √ ∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C， 课堂 小结 1.知识清单： (1)两角和与差的正切公式的推导. (2)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：公式中加减符号易记错. 随堂演练 √ 1 2 3 4 2.tan α＝2，tan β＝3，则tan(α＋β)等于 A.1 B.5 C.－1 D.－5 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 36 1 2 3 4 1 课时对点练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 ＝tan 24°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1， ∴(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β ＝1－(tan α·tan β－1)＋tan α·tan β＝2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵28°＋32