5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　两角差的余弦公式 第五章　5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 学习目标 1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程. 2.掌握两角差的余弦公式的应用. 导语 同学们，大家知道，求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式. 课时对点练 一、两角差的余弦公式 二、给值求值 三、给值求角 随堂演练 内容索引 4 两角差的余弦公式 一 问题1　已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标. 提示　P(cos α，sin α). 问题2　观察下图，并阅读教材P215以及右下角的注解部分，分组讨论，你能得到哪些结论？ 提示　A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cos β，sin β)，P1(cos α，sin α). 连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP＝A1P1. 问题3　你还记得初中所学两点间的距离公式吗？ 由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2. 两角差的余弦公式 cos(α－β)＝ ，其中α，β为任意角，简记作C(α－β). 知识梳理 cos αcos β＋sin αsin β 注意点： (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立. 例1 (1)cos 15°的值是 √ 原式＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° 两角差的余弦公式常见题型及解法 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解. (2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解. (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解. 反思感悟 跟踪训练1 求下列各式的值： (1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)； 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)] (2)－sin 167°·sin 223°＋sin 257°·sin 313°； 原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°) ＝sin 13°sin 43°＋sin 77°sin 47° ＝sin 13°sin 43°＋cos 13°cos 43° 给值求值 二 问题4　正弦、余弦、正切在每个象限内的符号如何？ 提示　正弦在一、二象限为正，三、四象限为负；余弦在一、四象限为正，二、三象限为负；正切在一、三象限为正，二、四象限为负. 例2 √ 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： 反思感悟 跟踪训练2 所以0<α＋β<π， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] 给值求角 三 例3 ∵β＝α－(α－β)， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 反思感悟 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案. 跟踪训练3 ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ∵α，β均为锐角， 课堂 小结 1.知识清单： (1)两角差的余弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求角时忽视角的范围. 随堂演练 1.cos 20°等于 A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D.sin 30°cos 10°＋sin 10°cos 30° √ 1 2 3 4 cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°·si