5.4.3 正切函数的性质与图象-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.4.3　正切函数的性质与图象 第五章　三角函数 学习目标 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. 导语 三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？我们知道，研究一个新的函数，应从函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值(值域)等方面来进行研究.请同学们思考学案上的几个问题. 课时对点练 一、正切函数的定义域、周期性与奇偶性 二、正切函数的图象 三、正切函数的单调性与最值 随堂演练 四、正切函数图象与性质的综合应用 内容索引 4 正切函数的定义域、周期性与奇偶性 一 问题1　请同学们回忆角的正切是如何定义的？ 问题2　由以上，你能定义正切函数吗？ 问题3　你还记得诱导公式二、三中和正切有关的公式吗？ 提示　tan(π＋α)＝tan α，tan(－α)＝－tan α. 知识梳理 1.周期性：由诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z，可知正切函数是 ，周期是π. 2.奇偶性：由诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R，x≠ ＋kπ，k∈Z，可知正切函数是 . 周期函数 奇函数 注意点： 例1 √ √ 反思感悟 反思感悟 ②判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系. A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数 跟踪训练1 √ 因为f(x)＝sin x＋tan x， 正切函数的图象 二 问题4　你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？ 问题5　如何画出函数y＝tan x的图象？ 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 知识梳理 正切函数的对称中心为________________. 注意点： 正切函数只有对称中心，没有对称轴， 例2 √ 正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解决与图象有关问题的关键. 反思感悟 (1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为 跟踪训练2 √ √ 正切函数的单调性与最值 三 知识梳理 单调递增 2.值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集___. R 例3 反思感悟 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. ②运用单调性比较大小关系. (2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 跟踪训练3 (2)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4. tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)， tan 4＝tan(4－π). ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan(4－π)<tan 1， 即tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. 正切函数图象与性质的综合应用 四 例4 所以不等式－1≤f(x)≤ 的解集是 反思感悟 跟踪训练4 画出函数y＝|tan x|的图象，并根据图象判断其定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性. 由y＝|tan x|， 其图象如图， 由图象可知，函数 值域为[0，＋∞)，是偶函数. 函数y＝|tan x|的周期T＝π， 课堂 小结 1.知识清单： (1)正切函数图象的画法. (2)正切函数的性质. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 随堂演练 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 代入验证知A，B，C错误. 46 1 2 3 4 > 课时对点练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.由正切函数的图象可知，“tan x＞0”是“x＞0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1