5.4.2 第3课时 正弦函数、余弦函数的性质的综合问题-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第3课时　正弦函数、余弦函数的性质的综合问题 第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 学习目标 1.掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质. 2.能够解决简单的函数性质的综合问题. 导语 同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想. 课时对点练 一、形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题 二、正弦函数、余弦函数的对称性 三、函数性质的综合应用 随堂演练 内容索引 4 形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题 一 问题1　求二次函数的最值，需要明确哪些方面？ 提示　开口方向，对称轴，函数的定义域. 问题2　同角三角函数的平方关系是什么？ 提示　sin2α＋cos2α＝1. 函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为________. 例1 因为y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2. 又－1≤sin x≤1，所以－4≤y≤0， 所以函数y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域为[－4，0]. [－4,0] 延伸探究 2.本例函数变为y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R，求函数的值域. 因为y＝sin2x＋2cos x－2＝1－cos2x＋2cos x－2＝－cos2x＋2cos x－1＝－(cos x－1)2，又－1≤cos x≤1，所以函数的值域为[－4,0]. 求y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数最值(值域)的方法 形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)＝asin2x＋bcos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值. 反思感悟 跟踪训练1 1 正弦函数、余弦函数的对称性 二 问题3　正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？ 提示　有，(kπ，0)(k∈Z). 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 问题4　正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？ 问题5　类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？ 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 例2 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想. 反思感悟 跟踪训练2 函数性质的综合应用 三 例3 √ 对于A选项，周期为π， 反思感悟 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等. 跟踪训练3 √ √ √ 课堂 小结 1.知识清单： (1)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函数的最值(值域)问题. (2)正弦函数、余弦函数的对称轴和对称中心. (3)函数性质的综合运用. 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：二次函数的最值问题. 随堂演练 √ 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 32 1 2 3 4 33 1 2 3 4 4.函数y＝cos2x＋sin x的最大值为______. 因为y＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x， 令t＝sin x，t∈[－1,1]， 课时对点练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.函数y＝sin πx的图象的两个相邻对称中心间的距离为 A.π B.2π C.1 D.2 √ 1