5.4.2 第2课时 单调性与最值-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　单调性与最值 第五章　5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质 学习目标 1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化的规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质. 2.能够利用函数的单调性解决比较函数值的大小以及求函数的最值、值域等问题. 导语 同学们，前面我们研究了正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性，根据我们之前学习指数函数和对数函数的经验，三角函数还有哪些性质有待我们去研究呢？请同学们继续观察正弦曲线和余弦曲线，它们的定义域、值域、单调性有什么样的规律呢？这就是我们本节课要研究的问题. 课时对点练 一、正弦函数、余弦函数的单调性 二、利用单调性比较大小 三、求正弦函数、余弦函数的单调区间 随堂演练 四、正弦函数、余弦函数的最值(值域) 内容索引 4 正弦函数、余弦函数的单调性 一 提示　 1.正弦函数的单调性 知识梳理 单调递增 单调递减 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 2.余弦函数的单调性 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都 ，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都 ，其值从1减小到－1. 单调递增 单调递减 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. (1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限. (2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间. (3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小. 注意点： 利用单调性比较大小 二 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小. 例1 (2)cos 1，sin 1； (3)sin 164°与cos 110°. sin 164°＝sin(180°－16°)＝sin 16°， cos 110°＝cos(90°＋20°)＝－sin 20°. 所以－sin 20°<sin 16°， 即cos 110°<sin 164°. 比较三角函数值大小的步骤 (1)异名函数化为同名函数. (2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上. (3)利用函数的单调性比较大小. 反思感悟 (1)下列关系式中正确的是 A.sin 11°<sin 168°<cos 10° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<cos 10°<sin 168° D.sin 168°<cos 10°<sin 11° 跟踪训练1 √ 因为sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，所以只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小. 即sin 11°<sin 168°<cos 10°. (2)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是 A.sin α<sin β B.cos α<sin β C.cos α<cos β D.cos α>cos β √ 求正弦函数、余弦函数的单调区间 三 例2 ∴y＝2sin z单调递增(减)时， 延伸探究 又∵x∈[0,2π]， 反思感悟 求正弦、余弦函数的单调区间的策略 (1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. (2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间.求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，同上. 跟踪训练2 正弦函数、余弦函数的最值(值域) 四 2.余弦函数：当且仅当x＝____(k∈Z)时取得最大值1；当且仅当x＝_______ (k∈Z)时取得最小值－1. 知识梳理 2kπ 2kπ＋π 例3 √ 在△ABC中，可知A＋B＋C＝π， 反思感悟 三角函数的值域(最值)问题的求解方法 (1)形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对A正、负的讨论. (2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值). 反思感悟 (3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函数求值. 跟踪训练3 课堂 小结 1.知识清单： (1)正弦、余弦函数的单调区间. (2)比较三角函数值的大小. (3)正弦、余弦函数的最值(值域). 2.方法归纳：整体代换、换元法. 3.常见误区：单调区间