5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 第五章　§5.4　三角函数的图象与性质 学习目标 1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象. 2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题. 导语 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数无形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数. 课时对点练 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 二、“五点(画图)法”画函数的图象 三、正弦函数、余弦函数图象的应用 随堂演练 内容索引 4 正弦函数、余弦函数图象的初步认识 一 问题1　结合之前所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象 研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质. 问题2　绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数， 在[0,2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0， 并画出点T(x0，sin x0)? 提示　在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0， 此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一 对应关系，可得点T(x0，sin x0). 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 问题3　我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝ sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？ 提示　借助单位圆，在x轴上[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象. 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 1.正弦函数的图象叫做正弦曲线. 知识梳理 函数 y＝sin x，x∈R 图象   函数 y＝cos x，x∈R 图象   2.余弦函数的图象叫做余弦曲线. 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 　　下列叙述正确的个数为 ①y＝sin x，x∈[0,2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称； ②y＝cos x，x∈[0,2π]的图象关于直线x＝π成轴对称； ③正弦、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围. A.0 B.1 C.2 D.3 √ 分别画出函数y＝sin x，x∈[0,2π]和y＝cos x，x∈[0,2π]的图象(略)，由图象观察可知①，②，③均正确. 例1 解决正弦、余弦函数图象的注意点： 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到. 反思感悟 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 　　　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是 A.都可由[0,2π]内的图象向上、向下无限延展得到 B.都是对称图形 C.都与x轴有无数个交点 D.y＝sin(－x)的图象与y＝sin x的图象关于x轴对称 跟踪训练1 √ 由正弦、余弦函数的图象知，B，C，D正确. “五点(画图)法”画函数的图象 二 问题4　如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的简图？ 函数 y＝sin x y＝cos x 图象画法 五点法 五点法 关键五点 ， ， ， ，________ 知识梳理 “五点(画图)法” (0,0) (π，0) (2π，0) 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 　　用“五点法”作下列函数的图象： (1)y＝1－2sin x，x∈[0,2π]； 例2 列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－2sin x 1 －1 1 3 1 描点连线，画图如下. 列表： x －π 0 π cos x －1 0 1 0 －1 描点连线，画图如下. 作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤 反思感悟 　　　用“五点法”在同一坐标系下画出下列函数在[－π，π]上的图象： (1)y＝－sin x；(2)y＝2－co