5.2.2 同角三角函数的基本关系-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.2.2　同角三角函数的基本关系 第五章　§5.2　三角函数的概念 学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系. 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明. 导语 “一支竹篙啊，难渡汪洋海，众人划桨哟，开动大帆船，一棵小树呀，弱不禁风雨，百里森林哟，并肩耐岁寒，耐岁寒，一加十，十加百，百加千千万，你加我，我加你，大家心相连，同舟共济海让路，号子嘛一喊浪靠边，百舸嘛争流千帆进，波涛在后岸在前……”伴随着一首经典老歌，让我们感触很深，歌词中每一句都流露出了“团结就是力量，团结就是胜利”，就像是我们数学中的每一个知识点一样，彼此紧密联系，比如我们刚学过的正弦、余弦和正切函数，它们之间到底有什么样的联系呢，让我们一起去发现. 课时对点练 一、利用同角三角函数的关系求值 二、利用同角三角函数的关系化简 三、一般恒等式的证明 随堂演练 内容索引 4 利用同角三角函数的关系求值 一 问题1　观察下表，你能发现什么？ 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 问题2　若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2＋y2＝1. 知识梳理 tan α 1 注意点： 例1 ∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， 当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， 反思感悟 反思感悟 跟踪训练1 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值. ∵sin α＋3cos α＝0， ∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1， ∴(－3cos α)2＋cos2α＝1， 即10cos2α＝1， 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时， 当角α的终边在第四象限时， 利用同角三角函数的关系化简 二 问题3　你能发现同角三角函数的哪些变形形式？ 利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值. 提示　sin2α＋cos2α＝1⇒ 例2 化简： 三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的. 反思感悟 跟踪训练2 ＝1＋1＝2. 一般恒等式的证明 三 例3 所以原等式成立. 所以原等式成立. 反思感悟 证明三角恒等式常用的方法 (1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简. (2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. (3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. 注意点： (1)证明三角恒等式的实质：清楚等式两端的差异，有目的地化简. (2)基本原则：由繁到简. (3)常用方法：从左向右证，从右向左证，左右同时证. 跟踪训练3 所以原等式成立. 课堂 小结 1.知识清单： (1)同角三角函数的基本关系. (2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明. 2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论. 随堂演练 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 1 2 3 4 √ 34 1 2 3 4 35 1 2 3 4 36 1 2 3 4 1 2 3 4 课时对点练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 由条件知α是第四象限角，所以sin α<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α) ＝sin2α＋cos2α＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为α为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由sin2α＋co