5.2.1 三角函数的概念-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.2.1　三角函数的概念 第五章　§5.2　三角函数的概念 学习目标 1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义. 2.掌握利用诱导公式一求给定角的三角函数值并能确定函数值的符号. 导语 游乐园是人们常去的地方，各种神奇的游乐器械吸引着人们去玩耍，尤其是那高大的摩天轮，带着人们在空中旋转，既好玩又刺激，我们假设一摩天轮的中心离地面h米，它的半径为r米，按逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，我们建立如图所示的直角坐标系，假设 你现在的位置在A处，经过30秒，你离地面有多高？经过210秒呢？经过570秒呢？带着这些问题，开始我们今天的新课. 课时对点练 一、三角函数的概念 二、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 三、公式一 随堂演练 内容索引 4 三角函数的概念 一 问题1　初中我们学习过锐角的三角函数，正弦、余弦和正切，这三个三角函数分别是怎样定义的？ 提示　在初中，我们是在直角三角形中定义的，正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边. 问题2　之前学习了任意角，我们也把任意角放到了平面直角坐标系中，那么角的终边和单位圆是否有交点？交点唯一吗？ 提示　有交点，交点唯一. 条件 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)   定义 正弦 把点P的 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝_____ 余弦 把点P的 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝______ 任意角的三角函数的定义 知识梳理 纵坐标y sin α 横坐标x cos α 定义 正切 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记作tan α，即 ＝___________ 三角函数 将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠ ＋kπ，k∈Z tan α(x≠0) 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. (1)三角函数值是比值，是一个实数. (2)三角函数值的大小只与角的大小有关. 注意点： 例1 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值. 反思感悟 反思感悟 (4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论. 跟踪训练1 √ √ 解得x2＝1，∴x＝±1. 解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1. 正弦、余弦、正切函数值在各个象限内的符号 二 问题3　根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号. 提示　三角函数值的符号是根据三角函数的定义和各象限内的坐标符号 导出的.根据三角函数的定义可知 ，正弦的 符号取决于纵坐标y的符号，余弦的符号取决于横坐标x的符号，正切的符号是由纵坐标y和横坐标x共同决定的，同号为正，异号为负. 知识梳理 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1.图示： 2.口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 例2 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角. 综上可知，α是第三象限角. (2)(多选)下列选项中，符号为负的是 A.sin(－100°) B.cos(－220°) C.tan 10 D.cos π √ √ √ 判断三角函数值符号的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限. (2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断. 反思感悟 已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 跟踪训练2 √ ∵点P(sin α，cos α)在第三象限， 公式一 三 问题4　终边相同的角的三角函数值有何关系？ 提示　由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等. 知识梳理 终边相同的角的同一三角函数的值 . 即 相等 sin(α＋k·2π)＝______， cos(α＋k·2π)＝______， tan(α＋k·2π)＝______， 其中k∈Z. sin α cos α tan α 计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； 例3 原式＝sin(－4×360°＋4