5.1.2 弧度制-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

5.1.2　弧度制 第五章　§5.1　任意角和弧度制 学习目标 1.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的相互转化. 2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式. 导语 同学们，本节课题目中有弧度二字，大家想到了什么？我们是否想到足球射门的弧度、篮球投篮的弧度，我们认知的弧度是非常简单的形状，也正是因为有了弧度才完美，比如：海浪因弧度而活跃；嘴角因为有弧度而美丽；月有阴晴圆缺，正因有弧度而富有神韵.而在我们数学中，正是因为弧度的引入，给数学学科带来了巨大的改变. 课时对点练 一、弧度制的概念 二、角度制与弧度制的相互转化 三、利用弧度表示角 随堂演练 四、弧度制下的扇形的弧长与面积公式 内容索引 4 弧度制的概念 一 问题1　我们上节课所学习的角度制能否与实数建立一一对应的关系？ 提示　不能，比如30°2′11′′，这种表示不能与实数建立一一对应的关系，也不利于三角函数的求值.为了能把角和实数建立联系，经过几千年的发展、探究和讨论，人们在衡量角度上达成共识，形成了今天的弧度制. 3.一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 . 1.弧度制 我们规定：长度等于 长的 所对的圆心角叫做1弧度的角. 2.弧度数的计算 知识梳理 负数 半径 圆弧 正数 0 具体过程详见下页GeoGebra动画演示. 一定大小的圆心角α所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关. 注意点： 下列各命题中，真命题是 A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 √ 根据弧度制和角度制的规定可知A，B，C均错误，D正确. 例1 (1)圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的； (2)任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 反思感悟 下列说法正确的是 A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 跟踪训练1 √ 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确； 对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误； 对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误； 对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. 角度制与弧度制的相互转化 二 提示　因为半径为r的圆的周长为l＝2πr，故圆周角的弧度数α＝2π，而圆周角的角度数是360°，于是我们有了弧度与角度的换算关系. 角度化弧度 弧度化角度 360°＝ rad 2π rad＝_____ 180°＝___ rad π rad＝_____       角度与弧度的互化 知识梳理 2π 360° π 180° (1)弧度单位rad可以省略. (2)在同一个题目中，弧度与角度不能混用. 注意点： 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°； 例2 (2)－300°； (3)2； 反思感悟 跟踪训练2 利用弧度表示角 三 将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？ 例3 所以－1 125°是第四象限角. 延伸探究　若在本例的条件下，在[－4π，4π]范围内找出与α终边相同的角的集合. 知k＝－2，－1,0,1， 反思感悟 用弧度制表示终边相同的角的两个关注点 (1)用弧度制表示终边相同的角α＋2kπ(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. (2)注意角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练3 √ 结合图象，设终边落在阴影部分(包括边界)的角是α，满足条件的角的集合是 (2)终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合为(用 弧度制表示)________________________________. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式 四 问题3　我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ (2)扇形的面积公式：S＝______＝______. 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝ . 知识梳理 αR 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数. 例4 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm， 整理得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4. 当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8(rad)>2π rad，舍去. 延伸探究