第五章 习题课 同角三角函数的基本关系-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

习题课　同角三角函数的基本关系 第五章　三角函数 学习目标 1.掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型. 2.灵活运用同角三角函数的基本关系的几种变形证明恒等式. 课时对点练 一、弦切互化求值 二、sin θ±cos θ型求值问题 三、条件恒等式的证明 随堂演练 内容索引 3 弦切互化求值 一 例1 已知tan α＝－4，求下列各式的值. (1)sin2α； (2)cos2α－sin2α； (3)3sin αcos α； 反思感悟 反思感悟 跟踪训练1 解得tan α＝1. sin2α＋sin αcos α＋1 (2)sin2α＋sin αcos α＋1. sin θ±cos θ型求值问题 二 例2 所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ 已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 反思感悟 跟踪训练2 由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， －2 条件恒等式的证明 三 例3 设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)， 则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n. 即(m－n)2＝0，∴m＝n， 反思感悟 含有条件的三角恒等式证明的常用方法 (1)直推法：从条件直推到结论. (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明. (3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明. 已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 跟踪训练3 因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2. 即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1. 课堂 小结 1.知识清单： (1)弦切互化求值. (2)sin θ±cos θ型求值问题. (3)条件恒等式的证明. 2.方法归纳：整体代换法. 3.常见误区：齐次式的化简求值容易忽略添加分母“1”. 随堂演练 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 又sin2α＋cos2α＝1， 1 2 3 4 √ 24 1 2 3 4 ∵2sin α＋cos α＝0， 课时对点练 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin θ＋sin2θ＝1， 所以sin θ＝1－sin2θ＝cos2θ， 所以cos2θ＋cos4θ＝sin θ＋sin2θ＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是 A.m2－2n－1＝0 B.mn＞0 C.m＋n＋1＞0 D.m2－4n＜0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin α，cos α是关于x的方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根， 所以sin α＋cos α＝－m，sin αcos α＝n， 因为角α是锐角，所以m＜0，n＞0，则mn＜0，故B错误； 又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝m2，即1＋2n＝m2， 所以m2－2n－1＝0，故A正确； 因为方程有两个实根，所以m2－4n≥0，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知asin α＋bcos α＝c，acos α－bsin α＝d，则a2＋b2____