3.2.2 第1课时 奇偶性的概念-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　奇偶性的概念 第三章　3.2.2　奇偶性 学习目标 1.了解函数奇偶性的定义. 2.掌握判断和证明函数奇偶性的方法. 3.应用函数的奇偶性解决简单的求值问题. 导语 古语有云：“夫美者，上下，内外，大小，远近皆无害焉，故曰美.”大家知道，我国的建筑，无论宫殿、庙宇、亭台、园林，无不有着对称之美，还能给人以稳重、博大、端庄的感觉，你能说出生活中和对称有关的例子吗？而对称美在数学中更是体现的淋漓尽致，今天我们来探究数学中的对称美. 课时对点练 一、函数奇偶性的概念 二、函数奇偶性的判断 三、奇、偶函数的图象及应用 随堂演练 四、利用函数的奇偶性求值 内容索引 4 函数奇偶性的概念 一 问题1　观察下列函数图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ 提示　这两个函数图象都关于y轴对称. 问题2　如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况. 提示　可以发现当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f(x)＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … g(x)＝2－|x| … －1 0 1 2 1 0 －1 … 问题3　观察函数f(x)＝x和g(x)＝ 的图象，你能发现这两个函数图象有什 么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？并自主探究结果. 提示　可以发现，两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 知识梳理 偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈ I，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数. 奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈ I，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数. f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) (1)函数的奇偶性是函数的整体性质. (2)先判断定义域是否关于原点对称，如果∀x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数. (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. 注意点： (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数. 注意点： 函数奇偶性的判断 二 　　判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝－|x|； 例1 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－|－x|＝－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数. 函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. 函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数. 函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，∵∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}， ∴f(x)是奇函数. 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： 反思感悟 (2)图象法： 反思感悟 　　　 判断下列函数的奇偶性. 跟踪训练1 (2)f(x)＝x2(x2＋2). f(x)＝x2(x2＋2)的定义域为R. ∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝x2(x2＋2)是偶函数. 奇、偶函数的图象及应用 三 　　已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. (1)请补全函数y＝f(x)的图象； 例2 由题意作出函数图象如图. (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； 由图可知，单调递增区间为(－1,0)，(1，＋∞). (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合. 由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<2，且x≠0}. 延伸探究　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ (1)由题意作出函数图象如图所示. (2)由图可知，单调递增区间为(－1,1). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<0或x>2}. 巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称. (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求值、比较大小及解不等式问题. 反思感悟 　　　 定义在[－3，－1]