3.2.1 第2课时 函数的最大(小)值-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　函数的最大(小)值 第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值 学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 2.能够借助函数图象的直观性得出函数的最值. 3.会借助函数的单调性求最值. 4.能够利用函数的单调性解决日常生活中的问题. 导语 108这个数字大家也许并不陌生：《封神榜》里面总共有108位神仙；在《水浒传》中，讲述的是齐聚水泊梁山的108位英雄好汉；在《红楼梦》中，设置了108个章节，等等这些，足以说明108在古人心中认为是数字之最，今天我们也来一次穿越，和古人一起探讨一下我们的函数之最吧. 课时对点练 一、直观感知函数的最大值和最小值 二、利用函数的单调性求函数的最值 三、探究生活中的实际问题 随堂演练 内容索引 4 直观感知函数的最大值和最小值 一 问题1　如图所示是函数y＝－x2－2x，y＝－2x＋1(x∈[－1，＋∞))，y＝f(x)的图象.观察并描述这三个图象的共同特征. 提示　函数y＝－x2－2x的图象有最高点A，函数y＝－2x＋1，x∈[－1，＋∞)的图象有最高点B，函数y＝f(x)的图象有最高点C，也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点. 问题2　你是怎样理解函数图象最高点的？ 提示　图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值. 知识梳理 函数的最值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x) M； (2)∃x0∈I，使得 .那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值. 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x) M； (2)∃x0∈I，使得 . 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值. ≤ f(x0)＝M ≥ f(x0)＝M (1)最大(小)值的几何意义：最高(低)点的纵坐标. (2)并不是所有的函数都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R. (3)一个函数至多有一个最大(小)值. (4)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (5)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)＝M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 注意点： 例1 作出函数f(x)的图象，如图. 由图象可知，当x＝±1时，f(x)取最大值为f(1)＝f(－1)＝1. 当x＝0时，f(x)取最小值为f(0)＝0， 故f(x)的最大值为1，最小值为0. 图象法求函数最值的一般步骤 反思感悟 　　　 已知函数f(x)＝ 求函数f(x)的最大值、最小值. 跟踪训练1 作出f(x)的图象如图. 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2； 利用函数的单调性求函数的最值 二 问题3　若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值分别是多少？ 提示　最大值为f(b)，最小值为f(a). 问题4　若f(x)＝－x2的定义域为[－1,2]，则f(x)的最大值和最小值一定在端点上取到吗？ 提示　不一定，需要考虑函数的单调性. 例2 所以x2－x1>0，且(2x1－1)(2x2－1)>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， (2)求函数f(x)在[1,5]上的最值. 由(1)知，函数f(x)在[1,5]上单调递减， (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性.②利用单调性写出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 反思感悟 (1)求证f(x)在[1，＋∞)上单调递增； 跟踪训练2 设1≤x1<x2， ∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1， ∴x1x2－1>0， 即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增. (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. 由(1)可知f(x)在[1,4]上单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 探究生活中的实际问题 三 　　某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R