3.2.1 第1课时 函数的单调性-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　函数的单调性 第三章　3.2.1　单调性与最大(小)值 学习目标 1.能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念. 2.理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念. 3.能运用定义法证明函数的单调性. 导语 同学们，大家有没有体验过过山车？我可是过山车的资深体验师哦，风驰电掣、疯狂刺激的上升与下落伴随着呐喊声和尖叫声，简直是一场视觉与听觉的盛宴.当然，过山车的设计可是离不开数学家的身影，我们今天的这节课就和刺激的过山车游戏有关哦. 课时对点练 一、直观感知函数的单调性 二、利用定义证明函数的单调性 三、函数单调性的简单应用 随堂演练 内容索引 4 直观感知函数的单调性 一 问题1　观察下面三个函数图形，他们的图象有什么变化规律？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 提示　函数y＝x的图象从左向右看是上升的；函数y＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图象在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的. 问题2　如何理解函数图象是上升的？ 提示　按从左向右的方向看函数的图象，意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大. 知识梳理 函数的单调性 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是 . 如果∀x1，x2∈D，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是 . 增函数 < < < > 减函数 (1)区间D可以是整个定义域I，也可以是定义域的真子集. (2)同区间性，即x1，x2∈D. (3)任意性，即不可以用区间D上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1，x2的大小. (5)“单调递增(递减)”“x1，x2的大小”“f(x1)与f(x2)的大小”知二求一. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 注意点： 　　已知函数f(x)＝x2－4|x|＋3，x∈R.根据图象写出它的单调区间. 例1 如图. 由图象可知，函数的单调递增区间为[－2,0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0,2). (1)求函数单调区间时，若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间，若函数不是上述函数且函数图象容易作出，可作出其图象，根据图象写出其单调区间. (2)一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开. 反思感悟 　　　 画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间. 跟踪训练1 函数的图象如图实线部分所示. 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0,1). 利用定义证明函数的单调性 二 　　证明函数f(x)＝　　 在区间(2，＋∞)上单调递减. 例2 ∀x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2， 因为2<x1<x2， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2). 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 反思感悟 　　　 求证：函数f(x)＝－ －1在区间(－∞，0)上单调递增. 跟踪训练2 ∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2<0， 由题设可得，x1－x2<0，x1x2>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 函数单调性的简单应用 三 (1)若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是___________. 例3 f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3 ＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]， 由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－