3.1.2 第3课时 分段函数-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第3课时　分段函数 第三章　3.1.2　函数的表示法 学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数. 2.给出分段函数，能研究有关性质. 3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题. 导语 大家知道国家电网依据什么来收取电费吗？其实他们是按不同的时间段来收取费用，一般来说，白天稍贵一些，晚上稍便宜一些，反映到我们数学上，这就需要我们分两段来研究用电的费用，生活中诸如此类的问题很多，比如用水收费问题、出租车计费问题、个人所得税纳税问题等.这些都属于我们今天要研究的分段函数的范畴. 课时对点练 一、分段函数求值(范围)问题 二、分段函数的图象及应用 三、分段函数在实际问题中的应用 随堂演练 内容索引 4 分段函数求值(范围)问题 一 提示　是一个函数，只不过x的取值范围不同，解析式不同. 知识梳理 分段函数 (2)本质：函数在定义域不同的范围内，有着不同的对应关系. 分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域的并集. 注意点： 例1 由－5∈(－∞，－2]，1∈(－2,2)， ∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4， (2)若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围. 因为a2＋2≥2， 所以f(a2＋2)＝2(a2＋2)－1＝2a2＋3， 所以不等式f(a2＋2)≥a＋4化为2a2－a－1≥0， 延伸探究 1.本例条件不变，若f(a)＝3，求实数a的值. 当a≤－2时，f(a)＝a＋1＝3， 即a＝2>－2，不符合题意，舍去； 当－2<a<2时，f(a)＝3a＋5＝3， 即a＝ ∈(－2,2)，符合题意； 当a≥2时，f(a)＝2a－1＝3， 即a＝2∈[2，＋∞)，符合题意. 综上可得，当f(a)＝3时，a的值为 或2. 2.本例条件不变，若f(x)>2x，求x的取值范围. 当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为3x＋5>2x， 即x>－5，所以－2<x<2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是(－∞，2). (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间. ②然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值. (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解. 反思感悟 (1)已知f(x)＝ 使f(x)≥－1成立的x的取值范围是 A.[－4,2) B.[－4,2] C.(0,2] D.(－4,2] 跟踪训练1 当x≤0时，f(x)≥－1即 x＋1≥－1，解得x∈[－4,0]； 当x>0时，f(x)≥－1即－(x－1)2≥－1， 解得x∈[0,2]， 综上，x∈[－4,2]. √ 分段函数的图象及应用 二 　　已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者). (1)分别用图象和解析式表示φ(x)； 例2 在同一个坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象如图①. 由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②. 令－x2＋2＝x，得x＝－2或x＝1. 结合图②，得出φ(x)的解析式为 由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)＝1， ∴φ(x)的值域为(－∞，1]. (2)求函数φ(x)的定义域，值域. 分段函数图象的画法 (1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏. (2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象. 反思感悟 　　　 函数f(x)的图象如图所示，求函数f(x)的解析式. 跟踪训练2 当x<－1时， 设f(x)＝ax＋b， 所以f(x)＝x＋2； 当－1≤x≤2时，设f(x)＝kx2， 由4＝k·22得k＝1，所以f(x)＝x2； 当x>2时，设f(x)＝cx＋d， 所以f(x)＝2x， 分段函数在实际问题中的应用 三 　　第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万