3.1.1 函数的概念(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

3.1.1　函数的概念(一) 第三章　§3.1　函数的概念及其表示 学习目标 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念. 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域. 导语 请同学们阅读课本75页《阅读与思考》(大约3分钟)，大家通过阅读函数概念的发展历程可以发现：函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关，而且随着研究的深入，函数概念不断得到严谨化、精确化的表达，这与我们学习函数的过程是一样的.也就是说函数并不是很神秘、很可怕的东西，它只是一个名称，它就在我们身边，比如路程随时间的变化而变化；一天中温度随时间的变化而变化；天宫二号在发射过程中，上升的高度随时间的变化而变化，可以说这种变量关系无处不在，而我们要做的就是用心去体验、去感受它的美. 课时对点练 一、函数的概念 二、函数的三要素 三、构建问题情境 随堂演练 内容索引 4 函数的概念 一 问题1　阅读课本60页的问题1和问题2，并思考它们有什么异同点？ 提示　它们有相同的解析式，也就是对应关系.但它们有不同的实际背景，变量的取值范围也不同. 问题2　请同学们继续阅读课本上的问题3和问题4，它们分别是函数吗？如果是，请指出它们与问题1和问题2中的函数的区别. 提示　是函数.由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象. 问题3　通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和共同点吗？ 提示　不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变量之间的对应关系. 共同点：①都包含两个非空的实数集，分别用A，B来表示；②两个实数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 知识梳理 函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种 的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 的取值范围A 值域 与x的值相对应的 的值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 确定 唯一确定 x y (1)A，B是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x，在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应. (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数. 注意点： 　　(1)(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是 A.A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方 B.A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方 C.A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数 D.A＝R，B＝{x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 例1 √ √ 按照函数定义，选项B中，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件； 选项C中，集合A中的元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求； 选项A和D符合函数的定义. (2)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列五个图形： 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 A.0 　　B.1　　 C.2 　　 D.3 √ ①中，因为在集合M中当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，所以①不能表示； ②中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以②可以表示； ③中，x＝2对应元素y＝3∉N，所以③不能表示； ④中，当x＝1时，在N中有两个元素与之对应，所以④不能表示； ⑤中，对于集合M中的任意一个数x，在N中都有唯一的数与之对应，所以⑤可以表示. (1)判断一个对应关系是否为函数的方法 反思感悟 (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l； ②在定义域内平行移动直线l； ③若直线l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是