3.1.1 函数的概念(二)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

3.1.1　函数的概念(二) 第三章　§3.1　函数的概念及其表示 学习目标 1.会判断两个函数是否为同一个函数. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的定义域与函数值. 课时对点练 一、区间的概念 二、求函数的定义域与值 三、判断是否为同一个函数 随堂演练 内容索引 四、求抽象函数的定义域 3 区间的概念 一 知识梳理 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 区间 数轴表示 ______   ______   ______   ______   [a，b] (a，b) [a，b) (a，b] [a，＋∞)   (a，＋∞)   (－∞，b]   (－∞，b)   (1)区间只能表示连续的数集，开闭不能混淆. (2)用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别. (3)区间是实数集的一种表示形式，集合的运算仍然成立. (4)∞是一个符号，而不是一个数. 注意点： 　　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； 例1 {x|x≥－1}＝[－1，＋∞). (2){x|x<0}； {x|x<0}＝(－∞，0). (3){x|－1<x<1}； {x|－1<x<1}＝(－1,1). (4){x|0<x<1或2≤x≤4}. {x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]. 用区间表示数集时要注意： (1)区间左端点值小于右端点值. (2)区间两端点之间用“，”隔开. (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号. 反思感悟 (1)集合{x|－2<x≤2且x≠0}用区间表示为______________. 跟踪训练1 {x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2,0)∪(0,2]. (－2,0)∪(0,2] (2)已知区间(a2＋a＋1,7]，则实数a的取值范围是________. (－3,2) 由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0， 解得－3<a<2， 所以实数a的取值范围是(－3,2). 求函数的定义域与值 二 例2 所以f(x)的定义域为[1，＋∞). [1，＋∞) (2)已知函数f(x)＝x＋ ，则f(2)＝__；当a≠－1时，f(a＋1)＝___________. (1)求函数的定义域应关注三点 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：(ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化. ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合. 反思感悟 (2)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值. ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 反思感悟 　　　 求下列函数的定义域： 跟踪训练2 由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1. 又x＋2>0，即x>－2， 要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 解得x≤5，且x≠±3， 解不等式组得－1≤x<1. 判断是否为同一个函数 三 问题1　构成函数的要素有哪些？ 提示　定义域、对应关系和值域. 问题2　结合函数的定义，如何才能确定一个函数？ 提示　有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定. 　　下列各组函数： 例3 ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5). 其中表示同一个函数的是________(填序号). ③⑤ ①不是同一个函数，定义域不同， f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R. ②不是同一个函数，对应关系不同， ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同. ④不是同一个函数，对应关系不同，f(x)＝|x＋3|，g(x)＝x＋3. ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时，必须是等价变形. 反思感悟 　　　 下列各组函数中是同一个函数的是 A.y＝x＋1与y＝ B.y＝x2＋1与s＝t2＋1 C.y＝2x与y＝2x(x≥0) D.y＝(x＋1)2与y＝x2 跟踪训练3 A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误. √ 求抽象函数的定义域 四 　　(1)函数y＝f(x)的定义域是[－1,3]，则f(2x＋1)的定义域