2.3 第2课时 一元二次不等式的应用-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　一元二次不等式的应用 第二章　§2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 学习目标 1.熟练掌握分式不等式的解法. 2.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系. 3.构建一元二次函数模型，解决实际问题. 课时对点练 一、解简单的分式不等式 二、二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 三、一元二次不等式的实际应用 随堂演练 内容索引 3 解简单的分式不等式 一 　　解下列不等式： 例1 原不等式可化为(x＋1)(2x－1)<0， 则x<－2. 故原不等式的解集为{x|x<－2}. 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. 反思感悟 跟踪训练1 　　　 解下列不等式： 解得x≤－1或x>3. 即原不等式的解集为{x|x≤－1或x>3}. 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}. 二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 二 例2 　　已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集. 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0， 延伸探究　 1.若本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集. 2.若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}” 变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是　　　　　　　”.求不等 式cx2＋bx＋a<0的解集. 即2ax2＋5ax－3a>0. 又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0， 设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2， 已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 反思感悟 　　　 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 跟踪训练2 ∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴方程x2＋ax＋b＝0的两根为1,2. 代入所求不等式，得2x2－3x＋1>0. 一元二次不等式的实际应用 三 　　(教材P54页例5改编)某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车刹车前的车速x km/h有如下关系：s＝－2x＋ x2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于22.5 m，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？ 例3 化简得x2－36x－405≥0，解得x≥45或x≤－9， 又∵x≥0，∴x≥45. ∴这辆汽车刹车前的车速至少为45 km/h. 解不等式应用题的步骤 反思感悟 　　　 某施工单位在对一个长800 m，宽600 m的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围. 跟踪训练3 设花坛的宽度为x m，则草坪的长为(800－2x) m， 宽为(600－2x) m. 根据题意得(800－2x)·(600－2x)≥ ×800×600， 整理得x2－700x＋60 000≥0,0＜x≤300， 解得x≥600(舍去)或x≤100， 由题意知x>0，所以0<x≤100， 所以当x在0<x≤100之间取值时，绿草坪的面积不小于总面积的二分之一. 课堂 小结 1.知识清单： (1)简单的分式不等式的解法. (2)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用. (3)一元二次不等式的实际应用. 2.方法归纳：转化法、恒等变形法. 3.常见误区： (1)解分式不等式要等价变形. (2)利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义. 随堂演练 1.不等式 <0的解集为 A.{x|x>1} B.{x|x<－2} C.{x|－2<x<1} D.{x|x<－2或x>1} √ 1 2 3 4 2.若不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为　　　　　　 ，则a＋b的值为 A.5 　　 B.－5 　　 C.6 　　 D.－6 √ 1 2 3 4 1 2