2.2 第1课时 基本不等式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　基本不等式 第二章　§2.2　基本不等式 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 导语 从前有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起进入今天的课堂吧！ 课时对点练 一、基本不等式的证明与理解 二、求简单代数式的最值 三、最值定理 随堂演练 内容索引 4 基本不等式的证明与理解 一 问题1　如图是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出什么样的结论吗？ 提示　正方形的边长AB＝ ，故正方形的面积为a2＋b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2＋ b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式. 问题2　现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用 分别替换上式中的a，b，能得到什么样结论？ 问题3　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明. 提示　方法一　(作差法) 方法二　(性质法) 方法三　(利用几何意义证明) 如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b， 过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD， 故有△ACD∽△DCB，故CD＝ ，由于CD小于或等于圆的半径， 故用不等式表示为 ，由此也可以得出圆的半径不小于半弦. 知识梳理 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则___________，当且仅当 时，等号成立. 2.其中，______叫做正数a，b的算术平均数，____叫做正数a，b的几何平均数. 3.两个正数的算术平均数 它们的几何平均数. a＝b 不小于 求简单代数式的最值 二 例1 因为x>0， 当且仅当x＝ ，即x＝2时等号成立，因此所求的最小值为4. 延伸探究　 1.当x<0时，求x＋ 的最大值. 因为x<0，则－x>0， 故原式的最大值为－4. 因为x>1，故有x－1>0， 当且仅当x－1＝ ，即x＝3时等号成立.因此所求的最小值为5. 在利用基本不等式求最值时要注意三点 一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备，检验多项式取得最值时的x的值是否为已知范围内的值，三点缺一不可. 反思感悟 跟踪训练1 (多选)下面四个推导过程正确的有 √ √ A中，∵a，b为正实数，∴ ， 为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； 最值定理 三 问题4　你能写出基本不等式的几种变形吗？ 由此我们发现若两个正数的和为定值时，我们可以求这两个数乘积的最大值，若两个数的乘积为定值时，我们可以求这两个数和的最小值. 知识梳理 最值定理 已知x，y都为正数，则(1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积 xy有最大值 ，简记为：积定和最小，和定积最大. (1)三个关键点：一正、二定、三相等. ①一正：各项必须为正； ②二定：各项之和或各项之积为定值； ③三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. (2)探求过程中常需依据具体的问题进行合理的拆项、凑项、配项等变换. 注意点： 例2 (1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 因为x>0，y>0， √ 当且仅当x＝y＝9时，等号成立，即(xy)max＝81. (2)若m＞0，n＞0，mn＝81，则m＋n的最小值是 A.4 　　 B. 　　　 　C.9 　　 D.18 因为m＞0，n＞0，mn＝81，所以m＋n≥2　　＝18，当且仅当m＝n＝9时，等号成立，故m＋n的最小值是18. √ 通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的