第二章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习课-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

章末复习课 第二章　一元二次函数、方程和不等式 知识网络 一、不等式及其性质 二、利用基本不等式求最值 三、一元二次不等式的解法 四、不等式恒成立问题 五、通过构造数学模型解决生活中的问题 内容索引 3 不等式及其性质 一 1.不等式及其性质贯穿整个高中数学教学，只要是涉及到范围的问题，都和不等式有关，在高中数学中有着很高的地位. 2.掌握不等式的运算性质，重点提升数学抽象和逻辑推理素养. 　　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是 A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B 例1 √ ∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2) ∴A≥B. (2)若a>b，x>y，则下列不等式正确的是 A.a＋x<b＋y B.ax>by C.|a|x≥|a|y D.(a－b)x<(a－b)y 当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘以一个大于零的数，不等号方向不变；当a＝0时，|a|x＝|a|y， 故|a|x≥|a|y. √ 不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法. (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式，但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时，常常选择特殊值法. 反思感悟 　　　若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为________________ ______. 跟踪训练1 {a－b|－1≤a－b ≤6} ∵－1≤b≤2， ∴－2≤－b≤1， 又1≤a≤5， ∴－1≤a－b≤6. 利用基本不等式求最值 二 1.基本不等式： 是每年高考的热点，主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数学抽象和数学运算素养. 　　(1)若0<x<2，则x(2－x)的最大值是 例2 因为0<x<2， √ 当且仅当x＝2－x，即x＝1时，等号成立. 所以x(2－x)的最大值为1. 0 反思感悟 基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”、“二定”、“三相等”. (2)拼凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法. 　　　已知函数y＝x－4＋ (x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＝_____；b＝_____. 跟踪训练2 因为x>－1，所以x＋1>0， 2 1 此时a＝2，b＝1. 一元二次不等式的解法 三 1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后能分解因式的变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 　　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是 . 例3 依题意，可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为 和2，且a<0. (1)求a的值； 解得－2<x<－1， 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}. 反思感悟 (1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式)，首先转化为标准形式(二次项系数为正)，然后分解因式变成因式相乘的形式，从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点，也是一元二次方程的根. 　　　 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 跟踪训练3 ①当a＝0时，原不等式即为－x＋1<0，解得x>1； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 不等式恒成立问题 四 1.熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件，理解不等式恒成立与最值的关系，对于含参的不等式要注意对参数进行讨论，做到不重不漏. 2.掌握不等式恒成立的条件，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 　　已知函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时，y≥a恒成立，求a的取值范围； 例4 当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立， 则Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0， 解得－6≤a≤2， 故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}. 将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数， 当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，只需在a＝4和a＝6时y≥0即可， (2)当a∈[4,6]时，y≥0恒成立，求x的取值范围. 27 反思感悟 解决不等式恒成立、能成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合