第二章 习题课 基本不等式-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

习题课　基本不等式 第二章　一元二次函数、方程和不等式 学习目标 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用. 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小. 课时对点练 一、巧用“1”的代换求最值问题 二、分离消元法求最值 三、利用基本不等式证明不等式 随堂演练 内容索引 3 巧用“1”的代换求最值问题 一 例1 即x＋y的最小值为16. 延伸探究　已知a>0，b>0，a＋2b＝1，求 的最小值. 因为a>0，b>0，a＋2b＝1， 常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商. 反思感悟 因为x>0，y>0，x＋8y＝xy， 所以x＋2y的最小值为18. 跟踪训练1 　　　 已知x>0，y>0，x＋8y＝xy，求x＋2y的最小值. 分离消元法求最值 二 　　已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值. 例2 所以x＋2y的最小值为4. 延伸探究　已知x>0，y>0，满足xy＝x＋y＋3，求xy的最小值. 所以xy的最小值为9. 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题. 反思感悟 　　　 已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________. 跟踪训练2 15 利用基本不等式证明不等式 三 　　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 例3 因为a，b，c均为正实数，a＋b＋c＝1， 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 延伸探究　本例的条件不变，求证： . 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”. (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②巧用“1”的代换证明不等式； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用. 反思感悟 跟踪训练3 当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以a＋b≥2. 课堂 小结 1.知识清单： (1)巧用“1”的代换求最值问题. (2)分离消元法求最值. (3)利用基本不等式证明不等式. 2.方法归纳：配凑法. 3.常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件或符号导致错误. 随堂演练 1.已知0<a<1,0<b<1，且a≠b，下列各式中最大的是 A.a2＋b2 　　B. 　　 C.2ab 　　D.a＋b √ 1 2 3 4 ∵0<a<1,0<b<1，∴a2<a，b2<b， ∴a2＋b2<a＋b，又a2＋b2>2ab(a≠b)， ∴2ab<a2＋b2<a＋b. 又∵a＋b>　 　(a≠b)，∴a＋b最大. 2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 √ 26 1 2 3 4 由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4， 1 2 3 4 课时对点练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是 A.s≥t 　　 B.s>t 　　 C.s≤t 　　D.s<t √ ∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1，即t≤s，当且仅当b＝1时，等号成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是 A.a2＋b2≥2|ab| B.a2＋b2＝2|ab| C.a2＋b2≤2|ab| D.a2＋b2>2|ab| √ ∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0， ∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设甲、乙两地的距离为s， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.当x>0时，y＝　　 有 A.最小值1 B.最大值1 C.最小值2 D.最大值2 √ 因为x>0， 34 1 2 3 4