第02讲 初中知识点回顾之一元二次方程-2023年初升高暑假预习考点方法题型总结（人教A版2019）

第2讲 初中知识点回顾之一元二次方程 考点一：一元二次方程根的判断 解题思路：根的判断，当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根 【精选例题】 【例1】已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【例2】关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．实数根的个数与实数的取值有关 【例3】已知关于x的一元二次方程：，有下列结论： ①当时，方程有两个不相等的实根； ②当时，方程不可能有两个异号的实根； ③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3． 以上4个结论中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4】关于一元二次方程，有以下命题：①若，则；②若方程两根为和2，则；③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若有两个相等的实数根，则无实数根．其中真命题是(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【跟踪训练】 1.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A． B． C． D． 3.关于的一元二次方程无实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知关于x的方程，下列说法正确的是（　　） A．当时，方程无实数解 B．当时，方程有两个相等的实数解 C．当时，方程有两个不相等的实数解 D．当时，方程有两个相等的实数解 考点二：解一元二次方程 【精选例题】 【例1】用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【例2】解下列一元二次方程： (1)（直接开平方法）； (2)（配方法）． (3)（公式法）； (4)（因式分解法）． 【例3】对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，因此，；按照这个规定，若，则x的值是（    ） A．5 B．5或 C．或 D．5或 【例4】阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：．解：，方程即为：，设，原方程转化为： 解得，，，当时，即，，；当时，即，不成立．综上所述，原方程的解是，．以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． (1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； (2)仿照上述方法，解方程：． 【跟踪训练】 1．解方程： (1)．(配方法)； (2)．(因式分解法) (3)．(公式法)； (4)．(因式分解法) 2．按照指定方法解下列方程： (1) （用直接开平方法）； (2) （用因式分解法） (3) （用配方法）； (4)（用求根公式法） 3.阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为（1），解得，，当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． (1)试用上述方法解方程：，得原方程的解为 ___________． (2)解方程． 考点三：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 解题思路：若一元二次不等式的两个根分别为，则 【精选例题】 【例1】已知方程的两根分别为，，则的值是（    ） A．1 B． C． D． 【例2】已知a，b是一元二次方程的两根，则的值是(    ) A． B． C． D． 【例3】关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，且，则值是（    ） A． B． C． D． 【例4】若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（    ） A．0 B． C． D． 【例5】定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【跟踪训练】 1．已知关于x的方程的两实根为，若，则m的值为（    ） A． B． C．或3 D．或1 2.关于的一元二次方程有两个不相等实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 3.已知关于x的一元二