第五章 习题课 同角三角函数的基本关系-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏

习题课　同角三角函数的基本关系 学习目标　1.掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型.2.灵活运用同角三角函数的基本关系的几种变形证明恒等式． 一、弦切互化求值 例1　已知tan α＝－4，求下列各式的值． (1)sin2α；(2)cos2α－sin2α；(3)3sin αcos α； (4). 解　(1)sin2α＝＝＝＝. (2)cos2α－sin2α＝＝＝＝－. (3)3sin αcos α＝＝＝＝－. (4)＝＝＝. 反思感悟　已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 (1)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值． (2)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值． 跟踪训练1　已知＝－1，求下列各式的值． (1)tan α；(2)sin2α＋sin αcos α＋1. 解　(1)因为＝－1，所以＝－1， 解得tan α＝1. (2)sin2α＋sin αcos α＋1 ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 二、sin θ±cos θ型求值问题 例2　已知sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值． 解　因为sin θ＋cos θ＝(0<θ<π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝， 即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝， 所以sin θcos θ＝－， 所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ ＝ ＝＝. 反思感悟　已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有 (1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ； (2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ； (3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2； (4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出． 跟踪训练2　若sin θ－cos θ＝，则tan θ＋＝________. 答案　－2 解析　由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， ∴sin θcos θ＝－， ∴tan θ＋＝＋＝＝－2. 三、条件恒等式的证明 例3　已知＋＝1，求证：＋＝1. 证明　设sin2A＝m(0<m<1)，sin2B＝n(0<n<1)， 则cos2A＝1－m，cos2B＝1－n. 由＋＝1，得＋＝1， 即(m－n)2＝0，∴m＝n， ∴＋＝＋＝1－n＋n＝1. 反思感悟　含有条件的三角恒等式证明的常用方法 (1)直推法：从条件直推到结论． (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明． (3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明． 跟踪训练3　已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1. 证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2. 所以＋1＝2， 整理得＝， 即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)， 即sin2β＝2sin2α－1. 1．知识清单： (1)弦切互化求值． (2)sin θ±cos θ型求值问题． (3)条件恒等式的证明． 2．方法归纳：整体代换法． 3．常见误区：齐次式的化简求值容易忽略添加分母“1”． 1．若tan α＝2，则的值为(　　) A．0 B. C．1 D. 答案　B 解析　＝＝. 2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　C 解析　由题意得(sin α－cos α)2＝， 即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝， 又sin2α＋cos2α＝1， ∴1－2sin αcos α＝， ∴sin αcos α＝－. 3．已知＝，则等于(　　) A. B．－ C．2 D．－2 答案　B 解析　因为＝， 所以＝ ＝ ＝＝－. 4．若2sin α＋cos α＝0，则－＝________. 答案　－ 解析　∵2sin α＋cos α＝0， ∴tan α＝－， 原式＝ ＝ ＝＝－2tan2α＝－. 1．已知sin φ＝－，且|φ|<，则tan φ等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　C 解析　∵sin φ＝－，