第五章 三角函数 章末复习课-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

一、同角三角函数的基本关系和诱导公式 1．(1)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α；(2)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限； 2．化简三角函数式的常用方法有：(1)直接应用公式；(2)切化弦；(3)异角化同角；(4)特殊值与特殊角的三角函数互化；(5)通分、约分；(6)配方去根号． 3．求值一般包括：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角． 4．掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例1　函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　) A. B．1 C. D. 答案　A 解析　f(x)＝sin＋cos ＝sin＋cos ＝sin＋sin ＝sin， 故函数有最大值. 反思感悟　任意角的三角函数的定义及诱导公式是高考考点，应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上的点的位置无关，应用诱导公式时要弄清三角函数值在各个象限内的符号．主要考查角度：(1)角的概念及其表示；(2)三角函数的定义及其应用；(3)扇形的弧长及面积公式；(4)三角函数的诱导公式． 跟踪训练1　已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　由sin αcos α＝>0，且<α<可知sin α<0，cos α<0且cos α>sin α， 所以cos α－sin α＝＝. 二、三角函数的图象与性质 1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 (1)“五点法”作图；(2)图象伸缩、平移变换． 3．掌握三角函数的图象和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． 例2　(1)已知函数f(x)＝sin，其中x∈，若f(x)的值域是，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　∵x∈， ∴x＋∈. ∵当x＋∈时，f(x)的值域为， ∴结合正弦函数的图象知≤a＋≤， ∴≤a≤π. (2)函数y＝sin的图象的对称轴为 ______________，对称中心为__________________． 答案　x＝＋kπ，k∈Z　，k∈Z 解析　由x－＝＋kπ，k∈Z， 得x＝＋kπ，k∈Z. 由x－＝kπ，k∈Z， 得x＝＋kπ，k∈Z. 故函数y＝sin的图象的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为，k∈Z. 反思感悟　三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论三角函数的性质，高考中三角函数是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性等有关性质．主要考查角度：(1)三角函数的性质；(2)三角函数图象的变换；(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质． 跟踪训练2　已知函数f(x)＝2sin＋a＋1(其中a为常数)． (1)求f(x)的单调区间； (2)当x∈时，f(x)的最大值为4，求a的值． 解　(1)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)；由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)． (2)因为0≤x≤，所以≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1， 所以f(x)的最大值为2＋a＋1＝4，所以a＝1. 三、三角函数的图象变换问题 1．由函数y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象有两种途径：先平移再伸缩；先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩． 2．掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例3　已知函数f(x)＝4sincos ωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)． (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象．若α为锐角，且g(α)＝－，求cos α的值． 解　(1)f(x)＝4sincos ωx ＝4cos ωx ＝2sin ωxcos ωx－2cos2ωx ＝sin 2ωx－cos 2ωx－ ＝2sin－. ∵函数f(x)在x＝处取得最值， ∴2ω×－＝kπ＋，k∈Z， 解得ω＝2k＋，k∈Z. 又ω∈(0,2)，