5.7 第2课时 三角函数的应用(二)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第2课时　三角函数的应用(二) 学习目标　1.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 一、三角函数图象类问题 例1　如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　) 答案　C 解析　设所对的圆心角为α，则α＝l， 弦AP的长d＝2·|OA|·sin ， 即有d＝f(l)＝2sin . 反思感悟　解决函数图象与实际问题对应问题的策略：一般方法是根据已知所反映出来的性质解决，充分利用图象中的几何关系．此外特殊点也可以作为判断的好方法． 跟踪训练1　如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0(，－)，角速度为1 rad/s，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　) 答案　C 二、三角函数在生活中的应用 例2　(教材245页例1改编)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0,24]． (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 解　(1)因为f(t)＝10－2sin， t∈[0,24]， 所以≤t＋≤，－1≤sin≤1， 当t＝2时，sin＝1； 当t＝14时，sin＝－1， 所以f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，得当f(t)>11时实验室需要降温． f(t)＝10－2sin， 故有10－2sin>11， 即sin<－ . 又0≤t≤24，因此，<t＋<， 即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温． 反思感悟　解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练2　健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝25sin 160πt＋115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解　(1)T＝＝＝(min)． (2)f＝＝80. 即此人每分钟心跳的次数为80. (3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg)， 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内． 三、三角函数在几何中的应用 例3　甲同学从一个半径为r的半圆形铁板中截取一块矩形ABCD，记其最大面积为S甲，乙同学从一个半径为R的圆形铁板中截取一块矩形EFGH，记其最大面积为S乙，试问r和R满足什么关系时，S甲＝S乙？说明理由． 解　如图所示，甲图中，O是半圆圆心，设∠COD＝θ， 则CD＝rsin θ，OC＝rcos θ， S矩形ABCD＝2OC·CD＝2rcos θ·rsin θ＝r2sin 2θ， 当θ＝时，S甲＝(S矩形ABCD)max＝r2， 乙图中，设∠EGF＝α，则EF＝2Rsin α，则FG＝2Rcos α， S矩形EFGH＝EF·FG＝2Rcos α·2Rsin α＝2R2sin 2α， 当α＝时，S乙＝(S矩形EFGH)max＝2R2， 若S甲＝S乙，则r2＝2R2，所以r＝R. 反思感悟　利用三角函数解决几何问题，首先要审清题意，然后要明确角的取值范围，最后一定要回归到实际问题当中去． 跟踪训练3　如图，在矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心、BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为________． 答案　6－2 解析　连接BP(图略)，设∠CBP＝α，其中0≤α<， 则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α， 周长C＝6－2(sin α＋cos α)， 因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α， 所以要让周长最小，即让sin α＋cos α最大， 即sin 2α最大， 因为sin 2α在α＝时取到最大值1， 所以当α＝时，周长有最小值6－2. 1．知识清单： (1)三角函数在生活中的应用． (2)三角函数在几何中的应用． 2．方法归纳：数学建模、数形结合． 3．常见误区：选择三角函数模型时，最后结果忘记回归实际问