5.7 第1课时 三角函数的应用(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第1课时　三角函数的应用(一) 学习目标　1.了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象.2.通过构建三角函数模型，尝试解决物理中的简单问题． 导语 现实世界中，许多事物的运动、变化呈现出一定的周期性，例如，地球的自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；海水在月球和太阳引力下发生的涨落现象；做简谐运动的物体的位移变化；人体在一天中血压、血糖浓度的变化等等，如果某种变化着的现象具有周期性，那么它可以借助三角函数来描述，利用三角函数的图象和性质解决相应的实际问题，今天，我们就一起来探究如何构建三角函数模型解决实际问题． 一、简谐运动 问题1　现实生活中存在大量周而复始、循环往复特点的周期运动的变化现象，你能举出哪些例子？ 提示　弹簧振子的运动，钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，日出日落，潮涨潮落，一天温度的变化，一天人员流动的变化等等．很显然，三角函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)可以更好的“拟合”这种周期性的变化． 问题2　某个弹簧振子(简称振子)在完成一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与位移y(单位：mm)之间的对应数据如下表所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式． t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 y －20.0 －17.8 －10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 t 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y 17.7 10.3 0.1 －10.1 －17.8 －20.0 提示　振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移y随时间t的变化规律可以用函数y＝Asin(ωt＋φ)来刻画． 根据已知数据作出散点图，如图所示． 由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20 mm，因此A＝20；振子振动的周期为T＝0.6 s，即＝0.6，解得ω＝；再由初始状态(t＝0)振子的位移为－20，可得sin φ＝－1，因此φ＝－.所以振子的位移关于时间的函数解析式为y＝20sin，t∈[0，＋∞)． 知识梳理 1．在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．简谐运动可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0. 2．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离； 这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间； 这个简谐运动的频率由公式f＝＝给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数； ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 注意点：如果A<0或ω<0，应先利用诱导公式把函数进行标准化，把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相．比如y＝－sin，应先变成y＝sin＝sin. 例1　振动量函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0)的初相和频率分别为－π和，则它的运动周期为________，相位是________． 答案　　3πx－π 解析　因为频率f＝，所以T＝＝， 所以ω＝＝3π， 所以相位ωx＋φ＝3πx－π. 反思感悟　若y＝Asin(ωx＋φ)是一个简谐运动的解析式，则A>0，ω>0，若A，ω不满足条件，则利用诱导公式变形，使之满足，再根据概念求值． 跟踪训练1　弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过的路程是32 cm，由此可知该振子振动的(　　) A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s C．周期为6 s D．频率为6 Hz 答案　B 解析　振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s，频率f＝＝＝ Hz. 二、三角函数“拟合”模型的应用 例2　下表所示的是某地2000～2021年的月平均气温(华氏度)． 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立平面直角坐标系． (1)描出散点图，并用正弦曲线去拟合这些数据； (2)这个函数的周期是多少？ (3)估计这个正弦曲线的振幅A； (4)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ ①＝cos ；②＝cos ；③＝cos ；④＝sin . 解　(1)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示． (2)1月份的平均气温最低，为21.4华氏度，7月份的平均气温最高，为73.0华氏度，根据散点图知＝