5.6 第4课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(二)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第4课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(二) 学习目标　1.结合三角恒等变换中的有关公式，研究三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合性问题.2.构建三角函数模型，解决实际问题． 导语 同学们，大家有没有看过武侠玄幻之类的电影，大家是不是经常被里面武功盖世的男女主人公所吸引，显然，练就一身好武功，需要对每一个动作追求完美，在这个过程中需要付出常人所不能及的泪水与汗水，同学们，到目前为止，我们已经把三角函数中的每一个“动作”都已训练完毕，现在，我们要把这些“动作”组合在一起，去发挥它更大的作用． 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)的综合问题 问题1　如何利用辅助角公式对函数y＝asin x＋bcos x进行合并？ 提示　y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)． 例1　已知函数f(x)＝sin－4sin2ωx＋2(ω>0)，其图象与x轴的两个相邻交点的距离为. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若将f(x)的图象向左平移m个单位长度得到的函数g(x)的图象恰好经过点，求当m取得最小值时，g(x)在上的单调区间． 解　(1)f(x)＝sin－4sin2ωx＋2 ＝sin 2ωx－cos 2ωx－4×＋2 ＝sin 2ωx＋cos 2ωx ＝sin， ∵＝，∴T＝π，∴T＝＝π，解得ω＝1， ∴f(x)＝sin. (2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到g(x)的图象， ∴g(x)＝sin， ∵函数g(x)的图象经过点， ∴sin＝0， 即sin＝0， ∴2m－＝kπ，k∈Z， ∴m＝π＋，k∈Z， ∵m>0，∴当k＝0时，m取得最小值， 此时，g(x)＝sin. 令－≤x≤，则≤2x＋≤， 当≤2x＋≤或≤2x＋≤， 即当－≤x≤－或≤x≤时，函数g(x)单调递增； 当≤2x＋≤，即－≤x≤时，函数g(x)单调递减， ∴g(x)在上的单调递增区间为，；单调递减区间为. 反思感悟　对于综合性问题，需要准备之前所学知识，熟悉诱导公式、两角和差的正弦余弦公式、二倍角公式等，熟悉三角函数的性质，函数图象的特点． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)的两条相邻对称轴之间的距离为. (1)求ω的值； (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，求实数k的取值范围． 解　(1)f(x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－ ＝sin 2ωx＋－ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin， 因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为. 所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝π， 所以T＝＝＝π，解得ω＝1. (2)由(1)得f(x)＝sin将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后， 得到y＝sin＝cos 2x的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x的图象，故g(x)＝cos x， 因为x∈， 当x＝时，函数g(x)取得最小值，g＝－； 当x＝0时，函数g(x)取得最大值，g(0)＝1， 故g(x)∈. 因为函数y＝g(x)－k在区间上存在零点， 所以k＝g(x)有解， 所以实数k的取值范围为. 二、利用函数y＝Asin(ωx＋φ)解决实际问题 问题2　结合三角函数周期性的变换规律，你认为生活中哪些现象可以构造三角函数模型？ 提示　转动的摩天轮、潮起潮落、每天的气温变化等． 例2　建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计．某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超过28 ℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调．如图是该市夏季一天的气温(单位：℃)随时间(0≤t≤24，单位：h)的大致变化曲线，该曲线近似地满足函数关系y＝Asin(ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)． (1)求函数y＝f(t)的解析式； (2)请根据(1)的结论，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？ 解　(1)由题图知，T＝2(14－2)＝24， 所以T＝＝24，解得ω＝. 由图知，b＝＝24，A＝＝8， 所以f(t)＝8sin＋24. 将点(2,16)代入函数解析式得， 24＋8sin＝16， 得＋φ＝2kπ－(k∈Z)， 即φ＝2kπ－(k∈Z)， 又因为|φ|<π，得φ＝－. 所以f(t)＝24＋8sin. (2)依题意，令24＋8sin>28， 可得sin>， 所以2kπ＋<t－<2kπ＋(k∈Z)， 解得24k＋10<t<24k＋18(k∈Z)， 令k＝0，得10<t<18， 故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭． 反思感悟　解决三角函数的实际应用