5.6 第3课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(一)-2022-2023学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）京津鲁琼粤渝鄂闽冀湘云晋皖黑吉浙苏贵甘豫桂新青藏宁蒙川

第3课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质(一) 学习目标　1.会通过函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式.2.结合正弦函数的性质，掌握函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质． 导语 同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？大家知道，三角函数是周期函数，故如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？ 一、已知图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 问题1　确定三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，就要确定三角函数的哪些参数？ 提示　A，ω，φ的值．其中A影响的是函数的最大、最小值，ω影响的是函数的周期． 问题2　观察下图，你能说说这个图象有什么特点吗？ 提示　这是一个周期上的函数图象，周期为π，最大值是3，最小值是－3.除此以外，我们还可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质．由此，我们可以推出整个函数的性质． 例1　已知问题2中函数的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式． 解　方法一　(逐一定参法) 由图象知A＝3， T＝－＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝3sin(2x＋φ)． ∵点在函数图象上， ∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<， ∴φ＝， ∴y＝3sin. 方法二　(待定系数法) 由图象知A＝3.∵图象过点和， ∴解得 ∴y＝3sin. 方法三　(图象变换法) 由A＝3，T＝π，点在图象上， 可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得， ∴y＝3sin 2，即y＝3sin. 反思感悟　给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． 跟踪训练1　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式． 解　由最低点M，得A＝2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为， 故＝，即T＝π，ω＝＝＝2. 由点M在图象上得 2sin＝－2，即sin＝－1， 故＋φ＝＋2kπ，k∈Z， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z， 又φ∈，∴φ＝， 故f(x)＝2sin. 二、函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关性质 问题3　你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？ 提示　可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可． 知识梳理 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称中心 对称轴 x＝＋ 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 例2　已知函数f(x)＝sin＋. (1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求f(x)的最小值及取得最小值时x的取值集合． 解　(1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)； 令2x＋＝kπ(k∈Z)，则x＝－(k∈Z)， 所以对称中心为(k∈Z)． (3)当sin＝－1， 即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)， x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最小值为， 此时x的取值集合是. 反思感悟　(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数． (2